Amerikanische und europäische Optionen (mathematische Modellierung)

Die mathematische Modellierung von Optionen wird in der Finanzwelt häufig verwendet.

Sowohl amerikanische als auch europäische Optionen sind Arten von Finanzderivaten, aber sie unterscheiden sich in ihren Ausübungsrechten, was wiederum Unterschiede in ihrer mathematischen Modellierung zur Folge hat.

Lassen Sie uns diese Unterschiede betrachten :

Wichtigste Erkenntnisse

• Amerikanische Optionen können jederzeit bis zum Verfall ausgeübt werden.
• Im Gegensatz dazu können europäische Optionen nur bei Verfall ausgeübt werden.
• Die Modellierung amerikanischer Optionen ist daher aufgrund der Möglichkeit der vorzeitigen Ausübung komplexer.
• Bei europäischen Optionen ist das Black-Scholes-Modell vorherrschend, da es eine direkte Formel für die Preisfindung bietet.
• Amerikanische Optionen verwenden häufig das Binomialbaum-Modell oder lösen ein Free-Frontier-Problem, um die vorzeitige Ausübung zu berücksichtigen.
• Beide Arten von Optionen verwenden "Griechen" zur Messung der Sensitivitäten, aber die Werte können sich von Option zu Option unterscheiden.
  • Beispielsweise kann das Potenzial der vorzeitigen Ausübung bei amerikanischen Optionen ihr Delta und Theta im Vergleich zu ihren europäischen Gegenstücken beeinflussen.

Europäische Optionen

Betrachten wir die Grundlagen der mathematischen Modellierung von europäischen Optionen :

Ausübungsrechte

Europäische Optionen können nur an ihrem Verfallsdatum ausgeübt werden.

Das heißt, wenn Sie eine europäische Call-Option kaufen, können Sie das Recht, den zugrunde liegenden Vermögenswert zum angegebenen Ausübungspreis zu kaufen, erst am Verfallstag ausüben.

Mathematische Modellierung

Das bekannteste Modell für europäische Optionen ist das Black-Scholes-Modell.

Die Black-Scholes-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung (PDE), die die Entwicklung des Optionspreises beschreibt.

Die Lösung der Black-Scholes-PDE ergibt den Preis der Option als Funktion des Preises des zugrunde liegenden Vermögenswerts, der Zeit, der Volatilität, des Zinssatzes und des Ausübungspreises.

Wenn es keine vorzeitige Ausübung gibt, werden die Black-Scholes EDP und andere ähnliche EDPs verwendet.

Alternativen zu Black-Scholes

Einige Alternativen zu Black-Scholes (oder die als Alternative zur Modellierung einer bestimmten Komponente - z. B. der Volatilität - dienen) sind weit verbreitet:

• Binomialbaum-Modell
• Trinomiales Baummodell
• Monte-Carlo-Simulation
• Finite-Differenzen-Methoden
• Bachelier-Modell
• Heston-Modell
• Feynman-Kac-Modell
• Cox-Ross-Rubinstein-Modell
• Modell von Garman-Kohlhagen
• Hull-White-Modell
• Modell der Sprungdiffusion
• CEV-Modell (konstante Elastizität der Varianz)
• GARCH-Modell (Verallgemeinerte autoregressive bedingte Heteroskedastizität).
• SABR-Modell
• Bates-Modell

Viele Händler und Wertpapierfirmen verwenden auch ihre eigenen Modelle.

Amerikanische Optionen

Betrachten wir nun die Grundlagen der mathematischen Modellierung von amerikanischen Optionen :

Ausübungsrechte

Amerikanische Optionen können jederzeit bis zu ihrem Verfallsdatum ausgeübt werden.

Diese Möglichkeit der vorzeitigen Ausübung macht ihre Bewertung komplexer.

Mathematische Modellierung

Die Bewertung amerikanischer Optionen ist aufgrund der Möglichkeit der vorzeitigen Ausübung schwieriger.

Methode des binomialen Baums

Das Binomialbaummodell ist eine weit verbreitete Methode.

Der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts wird so modelliert, dass er sich bei jedem Schritt nach oben oder unten bewegt, und der Wert der Option wird an jedem Knoten unter Berücksichtigung der Möglichkeit einer vorzeitigen Ausübung bestimmt.

Das Modell des Binomialbaums ist ein Beispiel für Markovketten und Entscheidungsbäume in der Finanzwirtschaft.

Problem der freien Grenze

Ein weiterer Ansatz ist die Lösung eines Problems mit freier Grenze, bei dem die Grenze die Grenze für die vorzeitige Ausübung darstellt.

Der Optionsinhaber wird die Option ausüben, wenn sie optimal ist. Daher ist es wichtig, diese Grenze zu bestimmen.

Finite-Differenzen-Methoden und Monte-Carlo-Simulationen

Finite-Differenzen-Methoden und Monte-Carlo-Simulationen werden ebenfalls verwendet, insbesondere bei komplexeren amerikanischen Optionen oder wenn Dividenden berücksichtigt werden.

Hauptunterschiede bei der Modellierung amerikanischer und europäischer Optionen

Die Eigenschaft der vorzeitigen Ausübung amerikanischer Optionen führt zu einer zusätzlichen Komplexität in ihrer mathematischen Modellierung.

Europäische Optionen haben geschlossene Lösungen wie die Black-Scholes-Formel, was sie einfacher zu bewerten macht.

Amerikanische Optionen erfordern häufig iterative numerische Methoden wie den Binomialbaum, um die Möglichkeit einer vorzeitigen Ausübung zu jedem Zeitpunkt zu berücksichtigen.

Vorzeitige Ausübung amerikanischer Optionen

Die vorzeitige Ausübung amerikanischer Optionen macht ihre mathematische Modellierung komplexer.

Denn zu jedem Zeitpunkt vor Fälligkeit muss entschieden werden, ob es optimal ist, die Option auszuüben oder sie zu halten.

Daher müssen Modelle verwendet werden, die diese Eigenschaft berücksichtigen können, wie z. B. das Binomialbaummodell oder Methoden, die das Problem der freien Grenze behandeln.

Der Binomialbaum in amerikanischen Optionen

Das Binomialbaummodell ist eine Methode, die die Laufzeit der Option in eine Reihe von diskreten Zeitintervallen zerlegt.

In jedem Intervall kann sich der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts nach oben oder unten bewegen, wodurch ein Baum möglicher Preise entsteht.

Das Modell ist für amerikanische Optionen besonders relevant, da es an jedem Knoten des Baums eine vorzeitige Ausübung vorsieht.

Bestimmung des Optionswerts durch Rückrechnung vom Fälligkeitszeitpunkt bis heute.

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) und die Bewertung von Optionen.

PDEs sind für die Bewertung von Optionen grundlegend, da sie die Entwicklung des Optionspreises in Abhängigkeit von Veränderungen des zugrunde liegenden Vermögenswerts und der Zeit beschreiben.

Die Black-Scholes-Gleichung ist zum Beispiel eine PDE, die den Preis einer europäischen Option in Abhängigkeit von verschiedenen Parametern angibt.

Problem der freien Grenze bei amerikanischen Optionen

Das Problem der freien Grenze ist bei amerikanischen Optionen wichtig, da es die optimale Grenze für die vorzeitige Ausübung bestimmt.

Diese Grenze repräsentiert die Preise der Vermögenswerte, bei denen es optimal wird, die Option vor dem Verfall auszuüben.

Die Lösung dieser Grenze ist entscheidend für die genaue Bewertung amerikanischer Optionen.

Monte-Carlo-Simulationen bei der Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen.

Bei Monte-Carlo-Simulationen wird eine große Anzahl von Zufallspfaden für den Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts erzeugt und dann der Optionsgewinn für jeden Pfad berechnet.

Durch Mittelwertbildung dieser Gewinne und deren Abzinsung kann der Optionspreis geschätzt werden.

Diese Methode ist flexibel und kann auf amerikanische und europäische Optionen angewendet werden, insbesondere wenn analytische Lösungen schwer abzuleiten sind.

Modellierung der Volatilität bei der Bewertung europäischer und amerikanischer Optionen

Die Volatilität stellt den Grad der Preisänderung des zugrunde liegenden Vermögenswerts dar.

In den mathematischen Modellen für beide Arten von Optionen ist die Volatilität ein Schlüsselparameter.

Eine höhere Volatilität erhöht - ceteris paribus - in der Regel den Wert der Option, da sie eine höhere Wahrscheinlichkeit impliziert, dass die Option im Geld ist.

Ein einzigartiger Aspekt europäischer Optionen ist, dass sie aufgrund der Möglichkeit der vorzeitigen Ausübung bei amerikanischen Optionen nicht mehr Wert haben können als amerikanische Optionen.

Dividenden bei der Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen.

Dividenden verringern den Wert von Kaufoptionen und erhöhen den Wert von Verkaufsoptionen.

Bei amerikanischen Optionen können die erwarteten Dividenden die vorzeitige Ausübung von Call-Optionen vor der Dividendenzahlung attraktiver machen.

Bei europäischen Optionen werden Dividenden in der Regel im Black-Scholes-Modell berücksichtigt, indem der Preis des Basiswerts angepasst wird.

Zinssätze bei der Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen.

Die Zinssätze sind ein wichtiger Parameter in den Modellen zur Bewertung von Optionen.

Sie stellen den Zeitwert des Geldes dar und beeinflussen die Abzinsung der zukünftigen Zahlungen.

Ein Anstieg der Zinssätze erhöht in der Regel den Wert von Kaufoptionen und senkt den Wert von Verkaufsoptionen.

Absicherung bei der Preisgestaltung von europäischen und amerikanischen Optionen

Die Absicherung von amerikanischen Optionen ist aufgrund der Möglichkeit einer vorzeitigen Ausübung komplexer.

Diese Unvorhersehbarkeit bedeutet, dass die Absicherungsstrategie dynamisch und häufiger angepasst werden muss, um zu gewährleisten, dass das Portfolio delta-neutral bleibt oder gegen Preisbewegungen geschützt ist.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass ein Händler eine Strategie mit gedeckten Call- oder Put-Optionen verfolgt.

Wenn die Option im Geld ist, kann das Geschäft vor dem Verfallsdatum geschlossen werden.

Die Glattstellung der Position kann die Diversifizierung/das Gleichgewicht eines Portfolios, den Liquiditätssaldo auf dem Konto usw. beeinträchtigen, was wiederum zu einem nicht optimierten Portfolio, Zinskosten usw. führen kann.

Die "Greekies" bei der Bewertung europäischer und amerikanischer Optionen.

Die "Griechen" in der Optionsbewertung stellen die Empfindlichkeit des Optionspreises gegenüber verschiedenen Faktoren dar :

Delta

Misst die Empfindlichkeit des Optionspreises gegenüber Änderungen des Preises des zugrunde liegenden Vermögenswerts.

Es ist bei amerikanischen und europäischen Optionen ähnlich, kann aber aufgrund der vorzeitigen Ausübung amerikanischer Optionen variieren.

Gamma

Gibt die Änderungsrate des Deltas ein.

Sie ist für beide Optionsarten gleich und spiegelt die Beschleunigung der Preisänderung wider.

Vega

Gibt die Sensitivität gegenüber der Volatilität an.

In der Regel ähnlich für beide Optionsarten, aber es gibt Nuancen aufgrund der unterschiedlichen Verfallsdynamiken.

Theta

Stellt die Sensitivität des Preises gegenüber dem zeitlichen Verfall dar.

Amerikanische Optionen können aufgrund der vorzeitigen Ausübungsrechte ein anderes Theta-Profil aufweisen.

Rho

Misst die Sensibilität gegenüber Zinsänderungen.

Obwohl das grundsätzliche Verhalten konsistent ist, kann das Ausmaß aufgrund der vorzeitigen Ausübungsrechte zwischen amerikanischen und europäischen Optionen variieren.

Begriffe und Definitionen

Einige Begriffe und Definitionen zu amerikanischen Optionen, europäischen Optionen und ihrer mathematischen Modellierung :

• Optionspreis: Das Verfahren zur Bestimmung des fairen Marktwerts einer Option.
• Finanzderivate: Finanzinstrumente, deren Wert von einem Basiswert abgeleitet wird: Finanzinstrumente, deren Wert von einem zugrunde liegenden Vermögenswert oder einer Gruppe von Vermögenswerten abgeleitet wird.
• Black-Scholes-Modell: Mathematisches Modell zur Bewertung von Optionen europäischen Typs.
• Vorzeitige Ausübung: Die Handlung, eine Option vor ihrem Verfallsdatum auszuüben.
• Binomialbaummodell: Eine Methode zur Bewertung von Optionen durch Modellierung mehrerer möglicher zukünftiger Kursergebnisse.
• Partielle Differentialgleichung (PDE): Eine Gleichung, die mehrere Variablen und ihre partiellen Ableitungen beinhaltet.
• Problem mit freier Grenze: Ein PDE-Problem, bei dem die Grenze unbekannt ist und im Rahmen der Lösung bestimmt werden muss.
• Monte-Carlo-Simulation: Eine Berechnungsmethode, die zur Schätzung der numerischen Ergebnisse eine Zufallsstichprobe verwendet.
• Finite-Differenzen-Methoden: Numerische Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe diskreter Näherungen.
• Volatilität: Maß für die Veränderung des Preises eines Finanzinstruments im Laufe der Zeit.
• Verfallsdatum: Das Datum, an dem ein Optionsvertrag verfällt.
• Ausübungspreis: Der vorher festgelegte Preis, zu dem eine Option ausgeübt werden kann.
• Risikoneutrale Bewertung: Die Bewertung von Finanzderivaten unter der Annahme, dass es keine Präferenz zwischen Risiko und Belohnung gibt.
• Dividende: Der Ausübungspreis einer Option wird auf der Grundlage des Wertes der Option und ihres Ausübungspreises bestimmt.
• Optionsprämie: Der Preis, der für den Erwerb einer Option gezahlt wird.
• Innerer Wert: Die Differenz zwischen dem Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts und dem Ausübungspreis einer Option.
• Zeitwert: Der Teil der Optionsprämie, der der verbleibenden Zeit bis zum Verfall zugerechnet wird.
• Absicherung: Investieren, um das Risiko einer ungünstigen Preisentwicklung zu verringern.
• Greeks (Delta, Gamma, Vega, Theta, Rho): Maß für die Sensitivität des Preises einer Option gegenüber verschiedenen Faktoren.
• Implizite Volatilität: Die Markterwartung einer wahrscheinlichen Kursbewegung eines Wertpapiers. Sie wird vom Optionspreis abgezogen.
• Arbitragemöglichkeiten: Eine Situation, in der es möglich ist, Vermögenswerte gleichzeitig zu kaufen und zu verkaufen, um von Preisunterschieden zu profitieren.
• Zinssatz: Der Betrag, den die Kreditgeber den Kreditnehmern in Rechnung stellen, ausgedrückt als Prozentsatz des Kapitals.
• Basiswert: Ein Finanzinstrument (z. B. eine Aktie), auf dem der Preis eines Derivats beruht.
• Kaufoption: Ein Finanzkontrakt, der dem Inhaber das Recht, aber nicht die Pflicht gibt, einen Vermögenswert zu einem bestimmten Preis zu kaufen.
• Put-Option: Finanzkontrakt, der dem Inhaber das Recht, aber nicht die Pflicht gibt, einen Vermögenswert zu einem bestimmten Preis zu verkaufen.

Optionsbroker

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Häufig gestellte Fragen

Schlussfolgerung

Obwohl beide Arten von Optionen einige grundlegende mathematische Prinzipien teilen, führen die unterschiedlichen Ausübungsrechte von europäischen und amerikanischen Optionen zu unterschiedlichen Modellierungsansätzen und Komplexitäten.