Opciones americanas y europeas (modelización matemática)

La modelización matemática de las opciones se utiliza mucho en finanzas.

Las opciones americanas y europeas son dos tipos de derivados financieros, pero difieren en sus derechos de ejercicio, lo que da lugar a diferencias en su modelización matemática.

Veamos estas diferencias:

Puntos clave

• Las opciones americanas pueden ejercerse en cualquier momento hasta su vencimiento.
• En cambio, las opciones europeas sólo pueden ejercerse al vencimiento.
• La modelización de las opciones americanas es, por tanto, más compleja debido a la posibilidad de ejercicio anticipado.
• El modelo Black-Scholes predomina en las opciones europeas, ya que ofrece una fórmula directa para la fijación de precios.
• Las opciones americanas utilizan a menudo el modelo de árbol binomial o resuelven un problema de frontera libre para tener en cuenta el ejercicio anticipado.
• Ambos tipos de opciones utilizan "griegas" para medir las sensibilidades, pero los valores pueden diferir de una opción a otra.
  • Por ejemplo, el potencial de ejercicio anticipado de las opciones americanas puede influir en su delta y theta en relación con sus homólogas europeas.

Opciones europeas

Veamos la modelización matemática básica de las opciones europeas:

Derechos de ejercicio

Las opciones europeas sólo pueden ejercerse en su fecha de vencimiento.

Esto significa que si compra una opción de compra europea, sólo podrá ejercer el derecho a comprar el activo subyacente al precio de ejercicio especificado en la fecha de vencimiento.

Modelos matemáticos

El modelo más conocido para las opciones europeas es el modelo Black-Scholes.

La ecuación de Black-Scholes es una ecuación diferencial parcial (EDP) que describe la evolución del precio de la opción.

La solución de la EDP de Black-Scholes da el precio de la opción en función del precio del activo subyacente, el tiempo, la volatilidad, el tipo de interés y el precio de ejercicio.

En ausencia de ejercicio anticipado, se utiliza la EDP de Black-Scholes y otras EDP similares.

Alternativas a Black-Scholes

Algunas alternativas al Black-Scholes (o como alternativa a la modelización de un determinado componente - por ejemplo, la volatilidad) son muy comunes:

• Modelo de árbol binomial
• Modelo de árbol trinomial
• Simulación Monte Carlo
• Métodos de diferencias finitas
• Modelo de Bachelier
• Modelo de Heston
• Modelo de Feynman-Kac
• Modelo Cox-Ross-Rubinstein
• Modelo Garman-Kohlhagen
• Modelo Hull-White
• Modelo de difusión por saltos
• Modelo CEV (elasticidad constante de la varianza)
• Modelo GARCH (heteroscedasticidad condicional autorregresiva generalizada)
• Modelo SABR
• Modelo Bates

Muchos traders y empresas de inversión también utilizan sus propios modelos.

Opciones americanas

Veamos ahora la modelización matemática básica de las opciones americanas:

Derechos de ejercicio

Las opciones americanas pueden ejercerse en cualquier momento hasta su fecha de vencimiento.

Esta posibilidad de ejercicio anticipado hace más compleja su valoración.

Modelización matemática

La valoración de las opciones americanas es más difícil debido a la posibilidad de ejercicio anticipado.

Método del árbol binomial

El modelo de árbol binomial es un método muy utilizado.

El precio del activo subyacente se modela para que suba o baje en cada paso, y el valor de la opción se determina en cada nodo, teniendo en cuenta la posibilidad de ejercicio anticipado.

El modelo de árbol binomial es un ejemplo de cadenas de Markov y árboles de decisión en finanzas.

Problema de frontera libre

Otro enfoque consiste en resolver un problema de frontera libre, en el que la frontera representa el límite de ejercicio anticipado.

El tenedor de la opción la ejercerá cuando sea óptimo. Por lo tanto, es importante determinar este límite.

Métodos de diferencias finitas y simulaciones de Montecarlo

Los métodos de diferencias finitas y las simulaciones de Monte Carlo también se utilizan, en particular para las opciones americanas más complejas o cuando se tienen en cuenta los dividendos.

Principales diferencias en la modelización de las opciones americanas y europeas

La característica de ejercicio anticipado de las opciones americanas introduce una complejidad adicional en su modelización matemática.

Las opciones europeas tienen soluciones cerradas, como la fórmula Black-Scholes, lo que simplifica su valoración.

Las opciones americanas requieren a menudo métodos numéricos iterativos, como el árbol binomial, para tener en cuenta la posibilidad de ejercicio anticipado en cualquier momento.

Ejercicio anticipado de las opciones americanas

El ejercicio anticipado de las opciones americanas hace más compleja su modelización matemática.

En cualquier momento antes del vencimiento, hay que decidir si es óptimo ejercer la opción o mantenerla.

Por lo tanto, es necesario utilizar modelos capaces de tener en cuenta esta característica, como el modelo del árbol binomial o los métodos que tratan el problema de la frontera libre.

El árbol binomial en las opciones americanas

El modelo del árbol binomial es un método que descompone la vida de la opción en una serie de intervalos de tiempo discretos.

En cada intervalo, el precio del activo subyacente puede subir o bajar, creando un árbol de precios posibles.

El modelo es especialmente relevante para las opciones americanas, ya que permite el ejercicio anticipado en cada nodo del árbol.

Determinación del valor de la opción por cálculo retrospectivo desde el vencimiento hasta hoy.

Ecuaciones diferenciales parciales (EDP) y valoración de opciones

Las EDP son fundamentales para la valoración de opciones porque describen la evolución del precio de la opción en función de los cambios en el activo subyacente y el tiempo.

La ecuación de Black-Scholes, por ejemplo, es una EDP que da el precio de una opción europea en función de varios parámetros.

El problema de la frontera libre en las opciones americanas

El problema de la frontera libre es importante para las opciones americanas porque determina la frontera óptima de ejercicio anticipado.

Esta frontera representa los precios de los activos para los que resulta óptimo ejercer la opción antes del vencimiento.

Resolver esta frontera es esencial para valorar con precisión las opciones americanas.

Simulaciones de Monte Carlo en la valoración de opciones europeas y americanas

Las simulaciones de Monte Carlo consisten en generar un gran número de trayectorias aleatorias para el precio del activo subyacente y, a continuación, calcular el precio de la opción para cada trayectoria.

El precio de la opción puede estimarse calculando la media de estos pagos y descontándolos.

Este método es flexible y puede aplicarse tanto a las opciones americanas como a las europeas, sobre todo cuando resulta difícil obtener soluciones analíticas.

Modelización de la volatilidad en la valoración de opciones europeas y americanas

La volatilidad representa el grado de variación del precio del activo subyacente.

En los modelos matemáticos de ambos tipos de opciones, la volatilidad es un parámetro clave.

Una mayor volatilidad suele aumentar el valor de la opción -si el resto de factores se mantiene constante- porque implica una mayor probabilidad de que la opción esté dentro del dinero.

Un aspecto único de las opciones europeas es que no pueden ser más valiosas que las opciones americanas debido a la posibilidad de ejercicio anticipado de las opciones americanas.

Dividendos en la valoración de opciones europeas y americanas

Los dividendos reducen el valor de las opciones de compra y aumentan el de las opciones de venta.

En el caso de las opciones americanas, los dividendos esperados pueden hacer más atractivo el ejercicio anticipado de las opciones de compra antes del pago de un dividendo.

En el caso de las opciones europeas, los dividendos suelen tenerse en cuenta en el modelo Black-Scholes ajustando el precio del activo subyacente.

Tipos de interés en la valoración de opciones europeas y americanas.

Los tipos de interés son un parámetro importante en los modelos de valoración de opciones.

Representan el valor temporal del dinero e influyen en el descuento de los pagos futuros.

Un aumento de los tipos de interés suele aumentar el valor de las opciones de compra y disminuir el de las opciones de venta.

Cobertura en la fijación de precios de opciones europeas y americanas

La cobertura de las opciones americanas es más compleja debido a la posibilidad de ejercicio anticipado.

Esta imprevisibilidad significa que la estrategia de cobertura debe ajustarse de forma dinámica y con mayor frecuencia, para garantizar que la cartera se mantiene delta-neutral o protegida frente a las oscilaciones de los precios.

Por ejemplo, supongamos que un operador sigue una estrategia de cobertura de opciones de compra o de venta.

Si la opción está dentro del dinero, la operación puede cerrarse antes de la fecha de vencimiento.

La liquidación de la posición puede afectar a la diversificación/equilibrio de una cartera, al saldo en efectivo de la cuenta, etc., lo que a su vez puede dar lugar a una cartera no optimizada, costes por intereses, etc.

Las "griegas" en la valoración de opciones europeas y americanas

Las "griegas" en la valoración de opciones representan la sensibilidad del precio de la opción a diversos factores:

Delta

Mide la sensibilidad del precio de la opción a las variaciones del precio del activo subyacente.

Es similar para las opciones americanas y europeas, pero puede variar debido al ejercicio anticipado de las opciones americanas.

Gamma

Indica la tasa de variación del delta.

Es idéntica para ambos tipos de opciones y refleja la aceleración de la variación del precio.

Vega

Indica la sensibilidad a la volatilidad.

Generalmente similar para ambos tipos de opciones, pero existen matices debido a las diferentes dinámicas de vencimiento.

Theta

Representa la sensibilidad del precio al decaimiento temporal.

Debido a los derechos de ejercicio anticipado, las opciones americanas pueden tener un perfil Theta diferente.

Rho

Mide la sensibilidad a las variaciones de los tipos de interés.

Aunque el comportamiento fundamental es coherente, la magnitud puede variar entre las opciones americanas y europeas debido a los derechos de ejercicio anticipado.

Términos y definiciones

Algunos términos y definiciones relacionados con las opciones americanas, las opciones europeas y su modelización matemática:

• Precio de la opción: proceso de determinación del valor justo de mercado de una opción.
• Derivados financieros: instrumentos financieros cuyo valor se deriva de un subyacente: instrumentos financieros cuyo valor se deriva de un activo o grupo de activos subyacentes.
• Modelo Black-Scholes: modelo matemático utilizado para valorar las opciones de tipo europeo.
• Ejercicio anticipado: Acción de ejercer una opción antes de su fecha de vencimiento.
• Modelo de árbol binomial: método de valoración de las opciones mediante la modelización de múltiples resultados posibles de los precios futuros.
• Ecuación diferencial parcial (EDP): Ecuación en la que intervienen varias variables y sus derivadas parciales.
• Problema de frontera libre: Problema de EDP cuya frontera es desconocida y debe determinarse como parte de la solución.
• Simulación de Monte Carlo: método de cálculo que utiliza el muestreo aleatorio para estimar resultados numéricos.
• Métodos de diferencias finitas: Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales utilizando aproximaciones discretas.
• Volatilidad: Medida de la variación del precio de un instrumento financiero a lo largo del tiempo.
• Fecha de vencimiento: Fecha en la que vence un contrato de opciones.
• Precio de ejercicio: Precio predeterminado al que puede ejercerse una opción.
• Valoración neutral al riesgo: Valoración de los derivados financieros partiendo del supuesto de que no existe preferencia entre el riesgo y la remuneración.
• Precio de ejercicio: El precio de ejercicio de una opción viene determinado por el valor de la opción y su precio de ejercicio.
• Prima de opción: Precio pagado para adquirir una opción.
• Valor intrínseco: Diferencia entre el precio del activo subyacente y el precio de ejercicio de una opción.
• Valor temporal: Parte de la prima de una opción que se atribuye al tiempo restante hasta el vencimiento.
• Cobertura: Inversión para reducir el riesgo de movimientos adversos de los precios.
• Griegas (Delta, Gamma, Vega, Theta, Rho): Medida de la sensibilidad del precio de una opción a distintos factores.
• Volatilidad implícita: Previsión del mercado sobre un movimiento probable del precio de un valor. Se deduce de los precios de las opciones.
• Oportunidades de arbitraje: Situación en la que se pueden comprar y vender activos simultáneamente para aprovechar las diferencias de precios.
• Tipo de interés: Importe cobrado por los prestamistas a los prestatarios, expresado como porcentaje del principal.
• Activo subyacente: Instrumento financiero (por ejemplo, una acción) en el que se basa el precio de un derivado.
• Opción de compra: Contrato financiero que da al tenedor el derecho, pero no la obligación, de comprar un activo a un precio determinado.
• Opción de venta : Contrato financiero que da al tenedor el derecho, pero no la obligación, de vender un activo a un precio determinado.

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Preguntas frecuentes

Conclusión

Aunque los dos tipos de opciones comparten algunos principios matemáticos fundamentales, los distintos derechos de ejercicio de las opciones europeas y americanas conducen a enfoques de modelización y complejidades diferentes.