A modelação matemática das opções é amplamente utilizada em finanças.
As opções americanas e europeias são ambos tipos de derivados financeiros, mas diferem nos seus direitos de exercício, o que leva a diferenças na sua modelação matemática.
Vejamos estas diferenças:
Vejamos a modelação matemática básica das opções europeias:
As opções europeias só podem ser exercidas na sua data de vencimento.
Isto significa que, se comprar uma opção de compra europeia, só pode exercer o direito de comprar o ativo subjacente ao preço de exercício especificado na data de vencimento.
O modelo mais conhecido para as opções europeias é o modelo de Black-Scholes.
A equação de Black-Scholes é uma equação diferencial parcial (EDP) que descreve a evolução do preço da opção.
A solução da equação de Black-Scholes dá o preço da opção em função do preço do ativo subjacente, do tempo, da volatilidade, da taxa de juro e do preço de exercício.
Na ausência de exercício antecipado, é utilizada a EDP de Black-Scholes e outras EDPs semelhantes.
Algumas alternativas ao Black-Scholes (ou como alternativa à modelação de uma determinada componente - por exemplo, a volatilidade) são muito comuns:
Muitos traders e empresas de investimento utilizam também os seus próprios modelos.
Vejamos agora a modelação matemática básica das opções americanas:
As opções americanas podem ser exercidas em qualquer altura até à sua data de expiração.
Esta possibilidade de exercício antecipado torna a sua avaliação mais complexa.
A avaliação das opções americanas é mais difícil devido à possibilidade de exercício antecipado.
Método da árvore binomial
O modelo de árvore binomial é um método amplamente utilizado.
O preço do ativo subjacente é modelado para subir ou descer em cada passo, e o valor da opção é determinado em cada nó, tendo em conta a possibilidade de exercício antecipado.
O modelo de árvore binomial é um exemplo de cadeias de Markov e árvores de decisão em finanças.
Problema de fronteira livre
Outra abordagem consiste em resolver um problema de fronteira livre, em que a fronteira representa o limite de exercício antecipado.
O detentor da opção exercerá a opção quando esta for óptima. Por conseguinte, é importante determinar este limite.
Métodos de diferenças finitas e simulações de Monte Carlo
Os métodos de diferenças finitas e as simulações de Monte Carlo são também utilizados, nomeadamente para opções americanas mais complexas ou quando os dividendos são tidos em conta.
A caraterística de exercício antecipado das opções americanas introduz uma complexidade adicional na sua modelação matemática.
As opções europeias têm soluções de forma fechada, como a fórmula de Black-Scholes, o que as torna mais simples de avaliar.
As opções americanas requerem frequentemente métodos numéricos iterativos, como a árvore binomial, para ter em conta a possibilidade de exercício antecipado em qualquer momento.
O exercício antecipado das opções americanas torna a sua modelação matemática mais complexa.
Em qualquer momento antes da expiração, é necessário decidir se é ótimo exercer a opção ou mantê-la.
Por conseguinte, é necessário utilizar modelos capazes de ter em conta esta caraterística, como o modelo de árvore binomial ou métodos que tratem o problema da fronteira livre.
O modelo de árvore binomial é um método que divide a vida da opção em uma série de intervalos de tempo discretos.
Em cada intervalo, o preço do ativo subjacente pode subir ou descer, criando uma árvore de preços possíveis.
O modelo é particularmente relevante para as opções americanas, uma vez que permite o exercício antecipado em cada nó da árvore.
Determinação do valor da opção através do cálculo retroativo desde a data de vencimento até ao dia de hoje.
As equações diferenciais parciais são fundamentais para a determinação do preço das opções, uma vez que descrevem a evolução do preço da opção em função das variações do ativo subjacente e do tempo.
A equação de Black-Scholes, por exemplo, é uma EDP que fornece o preço de uma opção europeia em função de vários parâmetros.
O problema da fronteira livre é importante para as opções americanas porque determina a fronteira óptima de exercício antecipado.
Esta fronteira representa os preços dos activos para os quais se torna ótimo exercer a opção antes da expiração.
A resolução deste problema é essencial para avaliar corretamente as opções americanas.
As simulações de Monte Carlo envolvem a geração de um grande número de trajectórias aleatórias para o preço do ativo subjacente e, em seguida, o cálculo do payoff da opção para cada trajetória.
Calculando a média destes payoffs e descontando-os, o preço da opção pode ser estimado.
Este método é flexível e pode ser aplicado tanto a opções americanas como europeias, nomeadamente quando é difícil obter soluções analíticas.
A volatilidade representa o grau de variação do preço do ativo subjacente.
Nos modelos matemáticos dos dois tipos de opções, a volatilidade é um parâmetro fundamental.
Uma volatilidade mais elevada aumenta geralmente o valor da opção - tudo o resto constante - porque implica uma maior probabilidade de a opção estar "in the money".
Um aspeto único das opções europeias é o facto de não poderem ser mais valiosas do que as opções americanas, devido à possibilidade de exercício antecipado das opções americanas.
Os dividendos reduzem o valor das opções de compra e aumentam o valor das opções de venda.
Para as opções americanas, os dividendos esperados podem tornar o exercício antecipado mais atrativo para as opções de compra antes do pagamento de um dividendo.
Para as opções europeias, os dividendos são geralmente tidos em conta no modelo Black-Scholes, ajustando o preço do ativo subjacente.
As taxas de juro são um parâmetro importante nos modelos de avaliação de opções.
Representam o valor temporal do dinheiro e influenciam o desconto de pagamentos futuros.
Um aumento das taxas de juro aumenta geralmente o valor das opções de compra e diminui o valor das opções de venda.
A cobertura das opções americanas é mais complexa devido à possibilidade de exercício antecipado.
Esta imprevisibilidade significa que a estratégia de cobertura deve ser ajustada de forma dinâmica e com maior frequência, para garantir que a carteira se mantém delta-neutra ou protegida contra movimentos de preços.
Por exemplo, suponhamos que um investidor segue uma estratégia de cobertura de uma opção de compra ou de venda.
Se a opção estiver in the money, a transação pode ser encerrada antes da data de expiração.
A liquidação da posição pode afetar a diversificação/equilíbrio de uma carteira, o saldo de tesouraria da conta, etc., o que, por sua vez, pode conduzir a uma carteira não optimizada, a custos de juros, etc.
Os "gregos" na determinação do preço das opções representam a sensibilidade do preço da opção a vários factores:
Mede a sensibilidade do preço da opção a alterações no preço do ativo subjacente.
É semelhante para as opções americanas e europeias, mas pode variar devido ao exercício antecipado das opções americanas.
Introduz a taxa de variação do delta.
É idêntica para ambos os tipos de opções e reflecte a aceleração da alteração do preço.
Indica a sensibilidade à volatilidade.
Geralmente semelhante para ambos os tipos de opções, mas existem nuances devido às diferentes dinâmicas de expiração.
Representa a sensibilidade do preço ao decaimento do tempo.
Devido aos direitos de exercício antecipado, as opções americanas podem ter um perfil Theta diferente.
Mede a sensibilidade a alterações nas taxas de juro.
Embora o comportamento fundamental seja consistente, a magnitude pode variar entre as opções americanas e europeias devido aos direitos de exercício antecipado.
Alguns termos e definições relacionados com as opções americanas, as opções europeias e a sua modelação matemática:
A principal diferença entre as opções americanas e as opções europeias reside nos seus direitos de exercício.
As opções americanas podem ser exercidas em qualquer altura até à data de vencimento, ao passo que as opções europeias só podem ser exercidas na data de vencimento.
O modelo de Black-Scholes é utilizado especificamente para as opções europeias porque fornece uma solução fechada para as opções que só podem ser exercidas na data de vencimento.
Como as opções europeias não têm a possibilidade de exercício antecipado, o modelo simplifica a sua avaliação através de uma fórmula direta.
Não, as opções europeias não podem ser mais valiosas do que as suas congéneres americanas.
As opções americanas oferecem uma maior flexibilidade graças à opção de exercício antecipado.
Na melhor das hipóteses, quando o exercício antecipado não oferece qualquer vantagem, o valor da opção europeia é igual ao da opção americana.
A modelação das opções americanas exige muitos cálculos devido à possibilidade de exercício antecipado.
A determinação da estratégia de exercício óptima exige que sejam tidos em conta vários caminhos e cenários, nomeadamente em métodos como a árvore binomial.
Além disso, a resolução do problema do limite livre ou a execução de simulações extensivas de Monte Carlo podem ser computacionalmente dispendiosas.
Sim, a escolha entre opções americanas e europeias pode ter implicações financeiras.
Por exemplo, nos mercados em que se esperam dividendos, o exercício antecipado de opções de compra americanas pode ser ótimo antes do pagamento de um dividendo.
Os resultados financeiros são então diferentes dos obtidos com uma opção europeia.
Além disso, a flexibilidade das opções americanas pode oferecer vantagens estratégicas em determinadas condições de mercado, afectando as estratégias de cobertura, negociação e gestão do risco.
Os "gregos" são medidas de sensibilidade na determinação do preço das opções. Incluem
Embora as definições dos gregos permaneçam consistentes, os seus valores podem diferir para as opções americanas e europeias devido à possibilidade de exercício antecipado das opções americanas.
Embora os dois tipos de opções partilhem alguns princípios matemáticos fundamentais, os diferentes direitos de exercício das opções europeias e americanas conduzem a diferentes abordagens e complexidades de modelização.
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