Opções americanas e europeias (modelação matemática)

A modelação matemática das opções é amplamente utilizada em finanças.

As opções americanas e europeias são ambos tipos de derivados financeiros, mas diferem nos seus direitos de exercício, o que leva a diferenças na sua modelação matemática.

Vejamos estas diferenças:

Pontos principais

• As opções americanas podem ser exercidas em qualquer altura até à data de vencimento.
• As opções europeias, por outro lado, só podem ser exercidas no vencimento.
• Por conseguinte, a modelização das opções americanas é mais complexa devido à possibilidade de exercício antecipado.
• O modelo Black-Scholes é predominante para as opções europeias, uma vez que oferece uma fórmula direta para a determinação do preço.
• As opções americanas utilizam frequentemente o modelo de árvore binomial ou resolvem um problema de fronteira livre para ter em conta o exercício antecipado.
• Ambos os tipos de opções utilizam "gregos" para medir a sensibilidade, mas os valores podem diferir de uma opção para outra.
  • Por exemplo, o potencial de exercício antecipado das opções americanas pode influenciar o seu delta e theta relativamente às suas contrapartes europeias.

Opções europeias

Vejamos a modelação matemática básica das opções europeias:

Direitos de exercício

As opções europeias só podem ser exercidas na sua data de vencimento.

Isto significa que, se comprar uma opção de compra europeia, só pode exercer o direito de comprar o ativo subjacente ao preço de exercício especificado na data de vencimento.

Modelação matemática

O modelo mais conhecido para as opções europeias é o modelo de Black-Scholes.

A equação de Black-Scholes é uma equação diferencial parcial (EDP) que descreve a evolução do preço da opção.

A solução da equação de Black-Scholes dá o preço da opção em função do preço do ativo subjacente, do tempo, da volatilidade, da taxa de juro e do preço de exercício.

Na ausência de exercício antecipado, é utilizada a EDP de Black-Scholes e outras EDPs semelhantes.

Alternativas a Black-Scholes

Algumas alternativas ao Black-Scholes (ou como alternativa à modelação de uma determinada componente - por exemplo, a volatilidade) são muito comuns:

• Modelo de árvore binomial
• Modelo de árvore trinomial
• Simulação de Monte Carlo
• Métodos de diferenças finitas
• Modelo de Bachelier
• Modelo de Heston
• Modelo de Feynman-Kac
• Modelo de Cox-Ross-Rubinstein
• Modelo de Garman-Kohlhagen
• Modelo de Hull-White
• Modelo de difusão por saltos
• Modelo CEV (elasticidade constante da variância)
• Modelo GARCH (heteroskedasticidade condicional autoregressiva generalizada)
• Modelo SABR
• Modelo Bates

Muitos traders e empresas de investimento utilizam também os seus próprios modelos.

Opções americanas

Vejamos agora a modelação matemática básica das opções americanas:

Direitos de exercício

As opções americanas podem ser exercidas em qualquer altura até à sua data de expiração.

Esta possibilidade de exercício antecipado torna a sua avaliação mais complexa.

Modelação matemática

A avaliação das opções americanas é mais difícil devido à possibilidade de exercício antecipado.

Método da árvore binomial

O modelo de árvore binomial é um método amplamente utilizado.

O preço do ativo subjacente é modelado para subir ou descer em cada passo, e o valor da opção é determinado em cada nó, tendo em conta a possibilidade de exercício antecipado.

O modelo de árvore binomial é um exemplo de cadeias de Markov e árvores de decisão em finanças.

Problema de fronteira livre

Outra abordagem consiste em resolver um problema de fronteira livre, em que a fronteira representa o limite de exercício antecipado.

O detentor da opção exercerá a opção quando esta for óptima. Por conseguinte, é importante determinar este limite.

Métodos de diferenças finitas e simulações de Monte Carlo

Os métodos de diferenças finitas e as simulações de Monte Carlo são também utilizados, nomeadamente para opções americanas mais complexas ou quando os dividendos são tidos em conta.

Principais diferenças na modelação das opções americanas e europeias

A caraterística de exercício antecipado das opções americanas introduz uma complexidade adicional na sua modelação matemática.

As opções europeias têm soluções de forma fechada, como a fórmula de Black-Scholes, o que as torna mais simples de avaliar.

As opções americanas requerem frequentemente métodos numéricos iterativos, como a árvore binomial, para ter em conta a possibilidade de exercício antecipado em qualquer momento.

Exercício antecipado de opções americanas

O exercício antecipado das opções americanas torna a sua modelação matemática mais complexa.

Em qualquer momento antes da expiração, é necessário decidir se é ótimo exercer a opção ou mantê-la.

Por conseguinte, é necessário utilizar modelos capazes de ter em conta esta caraterística, como o modelo de árvore binomial ou métodos que tratem o problema da fronteira livre.

A árvore binomial nas opções americanas

O modelo de árvore binomial é um método que divide a vida da opção em uma série de intervalos de tempo discretos.

Em cada intervalo, o preço do ativo subjacente pode subir ou descer, criando uma árvore de preços possíveis.

O modelo é particularmente relevante para as opções americanas, uma vez que permite o exercício antecipado em cada nó da árvore.

Determinação do valor da opção através do cálculo retroativo desde a data de vencimento até ao dia de hoje.

Equações diferenciais parciais (PDEs) e avaliação de opções

As equações diferenciais parciais são fundamentais para a determinação do preço das opções, uma vez que descrevem a evolução do preço da opção em função das variações do ativo subjacente e do tempo.

A equação de Black-Scholes, por exemplo, é uma EDP que fornece o preço de uma opção europeia em função de vários parâmetros.

O problema da fronteira livre nas opções americanas

O problema da fronteira livre é importante para as opções americanas porque determina a fronteira óptima de exercício antecipado.

Esta fronteira representa os preços dos activos para os quais se torna ótimo exercer a opção antes da expiração.

A resolução deste problema é essencial para avaliar corretamente as opções americanas.

Simulações de Monte Carlo na avaliação de opções europeias e americanas

As simulações de Monte Carlo envolvem a geração de um grande número de trajectórias aleatórias para o preço do ativo subjacente e, em seguida, o cálculo do payoff da opção para cada trajetória.

Calculando a média destes payoffs e descontando-os, o preço da opção pode ser estimado.

Este método é flexível e pode ser aplicado tanto a opções americanas como europeias, nomeadamente quando é difícil obter soluções analíticas.

Modelação da volatilidade na avaliação das opções europeias e americanas

A volatilidade representa o grau de variação do preço do ativo subjacente.

Nos modelos matemáticos dos dois tipos de opções, a volatilidade é um parâmetro fundamental.

Uma volatilidade mais elevada aumenta geralmente o valor da opção - tudo o resto constante - porque implica uma maior probabilidade de a opção estar "in the money".

Um aspeto único das opções europeias é o facto de não poderem ser mais valiosas do que as opções americanas, devido à possibilidade de exercício antecipado das opções americanas.

Dividendos na avaliação de opções europeias e americanas

Os dividendos reduzem o valor das opções de compra e aumentam o valor das opções de venda.

Para as opções americanas, os dividendos esperados podem tornar o exercício antecipado mais atrativo para as opções de compra antes do pagamento de um dividendo.

Para as opções europeias, os dividendos são geralmente tidos em conta no modelo Black-Scholes, ajustando o preço do ativo subjacente.

Taxas de juro na avaliação das opções europeias e americanas.

As taxas de juro são um parâmetro importante nos modelos de avaliação de opções.

Representam o valor temporal do dinheiro e influenciam o desconto de pagamentos futuros.

Um aumento das taxas de juro aumenta geralmente o valor das opções de compra e diminui o valor das opções de venda.

Cobertura na fixação do preço das opções europeias e americanas

A cobertura das opções americanas é mais complexa devido à possibilidade de exercício antecipado.

Esta imprevisibilidade significa que a estratégia de cobertura deve ser ajustada de forma dinâmica e com maior frequência, para garantir que a carteira se mantém delta-neutra ou protegida contra movimentos de preços.

Por exemplo, suponhamos que um investidor segue uma estratégia de cobertura de uma opção de compra ou de venda.

Se a opção estiver in the money, a transação pode ser encerrada antes da data de expiração.

A liquidação da posição pode afetar a diversificação/equilíbrio de uma carteira, o saldo de tesouraria da conta, etc., o que, por sua vez, pode conduzir a uma carteira não optimizada, a custos de juros, etc.

Os "gregos" nos preços das opções europeias e americanas

Os "gregos" na determinação do preço das opções representam a sensibilidade do preço da opção a vários factores:

Delta

Mede a sensibilidade do preço da opção a alterações no preço do ativo subjacente.

É semelhante para as opções americanas e europeias, mas pode variar devido ao exercício antecipado das opções americanas.

Gama

Introduz a taxa de variação do delta.

É idêntica para ambos os tipos de opções e reflecte a aceleração da alteração do preço.

Vega

Indica a sensibilidade à volatilidade.

Geralmente semelhante para ambos os tipos de opções, mas existem nuances devido às diferentes dinâmicas de expiração.

Theta

Representa a sensibilidade do preço ao decaimento do tempo.

Devido aos direitos de exercício antecipado, as opções americanas podem ter um perfil Theta diferente.

Rho

Mede a sensibilidade a alterações nas taxas de juro.

Embora o comportamento fundamental seja consistente, a magnitude pode variar entre as opções americanas e europeias devido aos direitos de exercício antecipado.

Termos e definições

Alguns termos e definições relacionados com as opções americanas, as opções europeias e a sua modelação matemática:

• Preço da opção: O processo de determinação do justo valor de mercado de uma opção.
• Derivados financeiros: instrumentos financeiros cujo valor é derivado de um subjacente: instrumentos financeiros cujo valor é derivado de um ativo ou grupo de activos subjacentes.
• Modelo de Black-Scholes: Modelo matemático utilizado para avaliar opções de tipo europeu.
• Exercício antecipado: A ação de exercer uma opção antes da sua data de expiração.
• Modelo de árvore binomial: Um método de avaliação de opções através da modelação de múltiplos resultados de preços futuros possíveis.
• Equação diferencial parcial (PDE): Uma equação que envolve várias variáveis e as suas derivadas parciais.
• Problema de fronteira livre: Um problema PDE cuja fronteira é desconhecida e deve ser determinada como parte da solução.
• Simulação de Monte Carlo: Método de cálculo que utiliza amostragem aleatória para estimar resultados numéricos.
• Métodos de diferenças finitas: Métodos numéricos para resolver equações diferenciais utilizando aproximações discretas.
• Volatilidade: Medida da variação do preço de um instrumento financeiro ao longo do tempo.
• Data de expiração: Data em que um contrato de opção expira.
• Preço de exercício: O preço pré-determinado ao qual uma opção pode ser exercida.
• Preço de exercício: Preço predeterminado ao qual uma opção pode ser exercida.
• Dividendo: O preço de exercício de uma opção é determinado pelo valor da opção e pelo seu preço de exercício.
• Prémio de opção: O preço pago para adquirir uma opção.
• Valor intrínseco: A diferença entre o preço do ativo subjacente e o preço de exercício de uma opção.
• Valor temporal: A parte do prémio de uma opção atribuída ao tempo que falta até ao vencimento.
• Hedging: Investir para reduzir o risco de movimentos adversos de preços.
• Gregos (Delta, Gamma, Vega, Theta, Rho): Medida da sensibilidade do preço de uma opção a diferentes factores.
• Volatilidade implícita: A previsão do mercado de um movimento provável no preço de um título. É deduzida dos preços das opções.
• Oportunidades de arbitragem: Uma situação em que os activos podem ser comprados e vendidos simultaneamente para tirar partido das diferenças de preços.
• Taxa de juro: O montante cobrado pelos mutuantes aos mutuários, expresso em percentagem do capital.
• Ativo subjacente: Instrumento financeiro (por exemplo, uma ação) no qual se baseia o preço de um derivado.
• Opção de compra: Contrato financeiro que confere ao titular o direito, mas não a obrigação, de comprar um ativo a um determinado preço.
• Opção de venda: Um contrato financeiro que dá ao detentor o direito, mas não a obrigação, de vender um ativo a um preço especificado.

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Perguntas mais frequentes

Conclusão

Embora os dois tipos de opções partilhem alguns princípios matemáticos fundamentais, os diferentes direitos de exercício das opções europeias e americanas conduzem a diferentes abordagens e complexidades de modelização.