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Opções americanas e europeias (modelação matemática)

Opções americanas e europeias

A modelação matemática das opções é amplamente utilizada em finanças.

As opções americanas e europeias são ambos tipos de derivados financeiros, mas diferem nos seus direitos de exercício, o que leva a diferenças na sua modelação matemática.

Vejamos estas diferenças:

Pontos principais

  • As opções americanas podem ser exercidas em qualquer altura até à data de vencimento.
  • As opções europeias, por outro lado, só podem ser exercidas no vencimento.
  • Por conseguinte, a modelização das opções americanas é mais complexa devido à possibilidade de exercício antecipado.
  • O modelo Black-Scholes é predominante para as opções europeias, uma vez que oferece uma fórmula direta para a determinação do preço.
  • As opções americanas utilizam frequentemente o modelo de árvore binomial ou resolvem um problema de fronteira livre para ter em conta o exercício antecipado.
  • Ambos os tipos de opções utilizam "gregos" para medir a sensibilidade, mas os valores podem diferir de uma opção para outra.
    • Por exemplo, o potencial de exercício antecipado das opções americanas pode influenciar o seu delta e theta relativamente às suas contrapartes europeias.

Opções europeias

Vejamos a modelação matemática básica das opções europeias:

Direitos de exercício

As opções europeias só podem ser exercidas na sua data de vencimento.

Isto significa que, se comprar uma opção de compra europeia, só pode exercer o direito de comprar o ativo subjacente ao preço de exercício especificado na data de vencimento.

Modelação matemática

O modelo mais conhecido para as opções europeias é o modelo de Black-Scholes.

A equação de Black-Scholes é uma equação diferencial parcial (EDP) que descreve a evolução do preço da opção.

A solução da equação de Black-Scholes dá o preço da opção em função do preço do ativo subjacente, do tempo, da volatilidade, da taxa de juro e do preço de exercício.

Na ausência de exercício antecipado, é utilizada a EDP de Black-Scholes e outras EDPs semelhantes.

Alternativas a Black-Scholes

Algumas alternativas ao Black-Scholes (ou como alternativa à modelação de uma determinada componente - por exemplo, a volatilidade) são muito comuns:

  • Modelo de árvore binomial
  • Modelo de árvore trinomial
  • Simulação de Monte Carlo
  • Métodos de diferenças finitas
  • Modelo de Bachelier
  • Modelo de Heston
  • Modelo de Feynman-Kac
  • Modelo de Cox-Ross-Rubinstein
  • Modelo de Garman-Kohlhagen
  • Modelo de Hull-White
  • Modelo de difusão por saltos
  • Modelo CEV (elasticidade constante da variância)
  • Modelo GARCH (heteroskedasticidade condicional autoregressiva generalizada)
  • Modelo SABR
  • Modelo Bates

Muitos traders e empresas de investimento utilizam também os seus próprios modelos.

Opções americanas

Vejamos agora a modelação matemática básica das opções americanas:

Direitos de exercício

As opções americanas podem ser exercidas em qualquer altura até à sua data de expiração.

Esta possibilidade de exercício antecipado torna a sua avaliação mais complexa.

Modelação matemática

A avaliação das opções americanas é mais difícil devido à possibilidade de exercício antecipado.

Método da árvore binomial

O modelo de árvore binomial é um método amplamente utilizado.

O preço do ativo subjacente é modelado para subir ou descer em cada passo, e o valor da opção é determinado em cada nó, tendo em conta a possibilidade de exercício antecipado.

O modelo de árvore binomial é um exemplo de cadeias de Markov e árvores de decisão em finanças.

Problema de fronteira livre

Outra abordagem consiste em resolver um problema de fronteira livre, em que a fronteira representa o limite de exercício antecipado.

O detentor da opção exercerá a opção quando esta for óptima. Por conseguinte, é importante determinar este limite.

Métodos de diferenças finitas e simulações de Monte Carlo

Os métodos de diferenças finitas e as simulações de Monte Carlo são também utilizados, nomeadamente para opções americanas mais complexas ou quando os dividendos são tidos em conta.

Principais diferenças na modelação das opções americanas e europeias

A caraterística de exercício antecipado das opções americanas introduz uma complexidade adicional na sua modelação matemática.

As opções europeias têm soluções de forma fechada, como a fórmula de Black-Scholes, o que as torna mais simples de avaliar.

As opções americanas requerem frequentemente métodos numéricos iterativos, como a árvore binomial, para ter em conta a possibilidade de exercício antecipado em qualquer momento.

Exercício antecipado de opções americanas

O exercício antecipado das opções americanas torna a sua modelação matemática mais complexa.

Em qualquer momento antes da expiração, é necessário decidir se é ótimo exercer a opção ou mantê-la.

Por conseguinte, é necessário utilizar modelos capazes de ter em conta esta caraterística, como o modelo de árvore binomial ou métodos que tratem o problema da fronteira livre.

A árvore binomial nas opções americanas

O modelo de árvore binomial é um método que divide a vida da opção em uma série de intervalos de tempo discretos.

Em cada intervalo, o preço do ativo subjacente pode subir ou descer, criando uma árvore de preços possíveis.

O modelo é particularmente relevante para as opções americanas, uma vez que permite o exercício antecipado em cada nó da árvore.

Determinação do valor da opção através do cálculo retroativo desde a data de vencimento até ao dia de hoje.

Equações diferenciais parciais (PDEs) e avaliação de opções

As equações diferenciais parciais são fundamentais para a determinação do preço das opções, uma vez que descrevem a evolução do preço da opção em função das variações do ativo subjacente e do tempo.

A equação de Black-Scholes, por exemplo, é uma EDP que fornece o preço de uma opção europeia em função de vários parâmetros.

O problema da fronteira livre nas opções americanas

O problema da fronteira livre é importante para as opções americanas porque determina a fronteira óptima de exercício antecipado.

Esta fronteira representa os preços dos activos para os quais se torna ótimo exercer a opção antes da expiração.

A resolução deste problema é essencial para avaliar corretamente as opções americanas.

Simulações de Monte Carlo na avaliação de opções europeias e americanas

As simulações de Monte Carlo envolvem a geração de um grande número de trajectórias aleatórias para o preço do ativo subjacente e, em seguida, o cálculo do payoff da opção para cada trajetória.

Calculando a média destes payoffs e descontando-os, o preço da opção pode ser estimado.

Este método é flexível e pode ser aplicado tanto a opções americanas como europeias, nomeadamente quando é difícil obter soluções analíticas.

Modelação da volatilidade na avaliação das opções europeias e americanas

A volatilidade representa o grau de variação do preço do ativo subjacente.

Nos modelos matemáticos dos dois tipos de opções, a volatilidade é um parâmetro fundamental.

Uma volatilidade mais elevada aumenta geralmente o valor da opção - tudo o resto constante - porque implica uma maior probabilidade de a opção estar "in the money".

Um aspeto único das opções europeias é o facto de não poderem ser mais valiosas do que as opções americanas, devido à possibilidade de exercício antecipado das opções americanas.

Dividendos na avaliação de opções europeias e americanas

Os dividendos reduzem o valor das opções de compra e aumentam o valor das opções de venda.

Para as opções americanas, os dividendos esperados podem tornar o exercício antecipado mais atrativo para as opções de compra antes do pagamento de um dividendo.

Para as opções europeias, os dividendos são geralmente tidos em conta no modelo Black-Scholes, ajustando o preço do ativo subjacente.

Taxas de juro na avaliação das opções europeias e americanas.

As taxas de juro são um parâmetro importante nos modelos de avaliação de opções.

Representam o valor temporal do dinheiro e influenciam o desconto de pagamentos futuros.

Um aumento das taxas de juro aumenta geralmente o valor das opções de compra e diminui o valor das opções de venda.

Cobertura na fixação do preço das opções europeias e americanas

A cobertura das opções americanas é mais complexa devido à possibilidade de exercício antecipado.

Esta imprevisibilidade significa que a estratégia de cobertura deve ser ajustada de forma dinâmica e com maior frequência, para garantir que a carteira se mantém delta-neutra ou protegida contra movimentos de preços.

Por exemplo, suponhamos que um investidor segue uma estratégia de cobertura de uma opção de compra ou de venda.

Se a opção estiver in the money, a transação pode ser encerrada antes da data de expiração.

A liquidação da posição pode afetar a diversificação/equilíbrio de uma carteira, o saldo de tesouraria da conta, etc., o que, por sua vez, pode conduzir a uma carteira não optimizada, a custos de juros, etc.

Os "gregos" nos preços das opções europeias e americanas

Os "gregos" na determinação do preço das opções representam a sensibilidade do preço da opção a vários factores:

Delta

Mede a sensibilidade do preço da opção a alterações no preço do ativo subjacente.

É semelhante para as opções americanas e europeias, mas pode variar devido ao exercício antecipado das opções americanas.

Gama

Introduz a taxa de variação do delta.

É idêntica para ambos os tipos de opções e reflecte a aceleração da alteração do preço.

Vega

Indica a sensibilidade à volatilidade.

Geralmente semelhante para ambos os tipos de opções, mas existem nuances devido às diferentes dinâmicas de expiração.

Theta

Representa a sensibilidade do preço ao decaimento do tempo.

Devido aos direitos de exercício antecipado, as opções americanas podem ter um perfil Theta diferente.

Rho

Mede a sensibilidade a alterações nas taxas de juro.

Embora o comportamento fundamental seja consistente, a magnitude pode variar entre as opções americanas e europeias devido aos direitos de exercício antecipado.

Termos e definições

Alguns termos e definições relacionados com as opções americanas, as opções europeias e a sua modelação matemática:

  • Preço da opção: O processo de determinação do justo valor de mercado de uma opção.
  • Derivados financeiros: instrumentos financeiros cujo valor é derivado de um subjacente: instrumentos financeiros cujo valor é derivado de um ativo ou grupo de activos subjacentes.
  • Modelo de Black-Scholes: Modelo matemático utilizado para avaliar opções de tipo europeu.
  • Exercício antecipado: A ação de exercer uma opção antes da sua data de expiração.
  • Modelo de árvore binomial: Um método de avaliação de opções através da modelação de múltiplos resultados de preços futuros possíveis.
  • Equação diferencial parcial (PDE): Uma equação que envolve várias variáveis e as suas derivadas parciais.
  • Problema de fronteira livre: Um problema PDE cuja fronteira é desconhecida e deve ser determinada como parte da solução.
  • Simulação de Monte Carlo: Método de cálculo que utiliza amostragem aleatória para estimar resultados numéricos.
  • Métodos de diferenças finitas: Métodos numéricos para resolver equações diferenciais utilizando aproximações discretas.
  • Volatilidade: Medida da variação do preço de um instrumento financeiro ao longo do tempo.
  • Data de expiração: Data em que um contrato de opção expira.
  • Preço de exercício: O preço pré-determinado ao qual uma opção pode ser exercida.
  • Preço de exercício: Preço predeterminado ao qual uma opção pode ser exercida.
  • Dividendo: O preço de exercício de uma opção é determinado pelo valor da opção e pelo seu preço de exercício.
  • Prémio de opção: O preço pago para adquirir uma opção.
  • Valor intrínseco: A diferença entre o preço do ativo subjacente e o preço de exercício de uma opção.
  • Valor temporal: A parte do prémio de uma opção atribuída ao tempo que falta até ao vencimento.
  • Hedging: Investir para reduzir o risco de movimentos adversos de preços.
  • Gregos (Delta, Gamma, Vega, Theta, Rho): Medida da sensibilidade do preço de uma opção a diferentes factores.
  • Volatilidade implícita: A previsão do mercado de um movimento provável no preço de um título. É deduzida dos preços das opções.
  • Oportunidades de arbitragem: Uma situação em que os activos podem ser comprados e vendidos simultaneamente para tirar partido das diferenças de preços.
  • Taxa de juro: O montante cobrado pelos mutuantes aos mutuários, expresso em percentagem do capital.
  • Ativo subjacente: Instrumento financeiro (por exemplo, uma ação) no qual se baseia o preço de um derivado.
  • Opção de compra: Contrato financeiro que confere ao titular o direito, mas não a obrigação, de comprar um ativo a um determinado preço.
  • Opção de venda: Um contrato financeiro que dá ao detentor o direito, mas não a obrigação, de vender um ativo a um preço especificado.

Brokers de opções

CorretoresRegulamentosPlataformasDepósito mínimoDicas de opções
Alemanha (BaFin)IG, ProRealTime300 €Opções de baunilha (OTC)
Produtos de barril (OTC)
Turbo24 (MTF)
Irlanda (FRSA) AvaOptions 100 €Opções de baunilha (OTC)
Investir envolve risco de perda. Os contratos de opções são produtos financeiros complexos destinados a investidores experientes.

Perguntas mais frequentes

Quais são as principais diferenças entre as opções americanas e as opções europeias?

A principal diferença entre as opções americanas e as opções europeias reside nos seus direitos de exercício.

As opções americanas podem ser exercidas em qualquer altura até à data de vencimento, ao passo que as opções europeias só podem ser exercidas na data de vencimento.

Porque é que o modelo de Black-Scholes é utilizado especificamente para as opções europeias?

O modelo de Black-Scholes é utilizado especificamente para as opções europeias porque fornece uma solução fechada para as opções que só podem ser exercidas na data de vencimento.

Como as opções europeias não têm a possibilidade de exercício antecipado, o modelo simplifica a sua avaliação através de uma fórmula direta.

As opções europeias podem valer mais do que as opções americanas?

Não, as opções europeias não podem ser mais valiosas do que as suas congéneres americanas.

As opções americanas oferecem uma maior flexibilidade graças à opção de exercício antecipado.

Na melhor das hipóteses, quando o exercício antecipado não oferece qualquer vantagem, o valor da opção europeia é igual ao da opção americana.

Quais são os desafios informáticos inerentes à modelação das opções americanas?

A modelação das opções americanas exige muitos cálculos devido à possibilidade de exercício antecipado.

A determinação da estratégia de exercício óptima exige que sejam tidos em conta vários caminhos e cenários, nomeadamente em métodos como a árvore binomial.

Além disso, a resolução do problema do limite livre ou a execução de simulações extensivas de Monte Carlo podem ser computacionalmente dispendiosas.

Existem cenários reais em que a escolha entre opções americanas e europeias tenha um impacto significativo nos resultados financeiros?

Sim, a escolha entre opções americanas e europeias pode ter implicações financeiras.

Por exemplo, nos mercados em que se esperam dividendos, o exercício antecipado de opções de compra americanas pode ser ótimo antes do pagamento de um dividendo.

Os resultados financeiros são então diferentes dos obtidos com uma opção europeia.

Além disso, a flexibilidade das opções americanas pode oferecer vantagens estratégicas em determinadas condições de mercado, afectando as estratégias de cobertura, negociação e gestão do risco.

O que são os "gregos" na determinação do preço das opções?

Os "gregos" são medidas de sensibilidade na determinação do preço das opções. Incluem

  • Delta: Sensibilidade do preço da opção a alterações no preço do ativo subjacente.
  • Gama: Sensibilidade do delta a alterações no preço do ativo subjacente.
  • Vega: Sensibilidade a alterações na volatilidade.
  • Theta: Sensibilidade à passagem do tempo.
  • Rho: Sensibilidade a alterações na taxa de juro.

Embora as definições dos gregos permaneçam consistentes, os seus valores podem diferir para as opções americanas e europeias devido à possibilidade de exercício antecipado das opções americanas.

Conclusão

Embora os dois tipos de opções partilhem alguns princípios matemáticos fundamentais, os diferentes direitos de exercício das opções europeias e americanas conduzem a diferentes abordagens e complexidades de modelização.