الخيارات الأمريكية والخيارات الأوروبية (النمذجة الرياضية)

وتستخدم النمذجة الرياضية للخيارات على نطاق واسع في مجال التمويل.

كل من الخيارات الأمريكية والأوروبية هي أنواع من المشتقات المالية، ولكنها تختلف في حقوق ممارستها، مما يؤدي إلى اختلافات في نماذجها الرياضية.

دعونا نلقي نظرة على هذه الاختلافات:

الدروس الرئيسية

• يمكن ممارسة الخيارات الأمريكية في أي وقت حتى انتهاء الصلاحية.
• وفي المقابل، لا يمكن ممارسة الخيارات الأوروبية إلا عند انتهاء الصلاحية.
• وبالتالي فإن نمذجة الخيارات الأمريكية أكثر تعقيداً نظراً لإمكانية الممارسة المبكرة.
• نموذج بلاك سكولز هو السائد بالنسبة للخيارات الأوروبية، لأنه يوفر صيغة مباشرة للتسعير.
• غالبًا ما تستخدم الخيارات الأمريكية نموذج الشجرة ذات الحدين أو تحل مشكلة الحدود الحرة لحساب التمرين المبكر.
• يستخدم كلا النوعين من الخيارات "اليونانيين" لقياس الحساسيات، لكن القيم قد تختلف من خيار إلى آخر.
  • على سبيل المثال، يمكن أن تؤثر إمكانية الممارسة المبكرة للخيارات الأمريكية على دلتا وثيتا مقارنة بنظيراتها الأوروبية.

الخيارات الأوروبية

دعونا نلقي نظرة على أساسيات النمذجة الرياضية للخيارات الأوروبية:

ممارسة الحقوق

لا يمكن ممارسة الخيارات الأوروبية إلا عند تاريخ انتهاء صلاحيتها.

وهذا يعني أنه إذا قمت بشراء خيار الاتصال الأوروبي، فيمكنك فقط ممارسة الحق في شراء الأصل الأساسي بسعر الإضراب المحدد في تاريخ انتهاء الصلاحية.

النمذجة الرياضية

النموذج الأكثر شهرة للخيارات الأوروبية هو نموذج بلاك سكولز.

معادلة بلاك سكولز هي معادلة تفاضلية جزئية (PDE) تصف التغير في سعر الخيار.

يوفر حل Black-Scholes PDE سعر الخيار بناءً على سعر الأصل الأساسي والوقت والتقلبات وسعر الفائدة وسعر الإضراب.

في حالة عدم وجود تمرين متوقع، يتم استخدام بلاك سكولز PDE وغيرها من PDEs المماثلة.

بدائل لبلاك سكولز

بعض البدائل لبلاك سكولز (أو التي تعمل كبديل لنمذجة مكون معين - على سبيل المثال، التقلبات) منتشرة على نطاق واسع:

• نموذج شجرة ذات الحدين
• نموذج شجرة ثلاثية الحدود
• محاكاة مونت كارلو
• طرق الفروق المحدودة
• نموذج البكالوريوس
• نموذج هيستون
• نموذج فاينمان-كاك
• نموذج كوكس روس روبنشتاين
• نموذج جارمان-كولهاجن
• نموذج هال وايت
• نموذج انتشار الهيب
• نموذج CEV (مرونة التباين الثابتة).
• نموذج GARCH (التباين الذاتي المشروط المعمم).
• نموذج صابر
• نموذج بيتس

يستخدم العديد من المتداولين وشركات الاستثمار أيضًا نماذجهم الخاصة.

الخيارات الأمريكية

الآن دعونا نلقي نظرة على أساسيات النمذجة الرياضية للخيارات الأمريكية:

ممارسة الحقوق

يمكن ممارسة الخيارات الأمريكية في أي وقت حتى تاريخ انتهاء صلاحيتها.

إن إمكانية ممارسة التمرينات المبكرة تجعل تقييمهم أكثر تعقيدًا.

النمذجة الرياضية

إن تقييم الخيارات الأمريكية أكثر صعوبة بسبب إمكانية الممارسة المبكرة.

طريقة شجرة ذات الحدين

يعد نموذج الشجرة ذات الحدين طريقة شائعة جدًا.

يتم تصميم سعر الأصل الأساسي للتحرك لأعلى أو لأسفل في كل مرحلة، ويتم تحديد قيمة الخيار في كل عقدة مع الأخذ في الاعتبار إمكانية التمرين المبكر.

نموذج الشجرة ذات الحدين هو مثال على سلاسل ماركوف وأشجار القرار في التمويل.

مشكلة الحدود الحرة

هناك طريقة أخرى تتمثل في حل مشكلة الحدود الحرة، حيث تمثل الحدود حد التمرين المتوقع.

سوف يمارس صاحب الخيار الخيار عندما يكون الأمثل. ولذلك فمن المهم تحديد هذا الحد.

طرق الفروق المحدودة ومحاكاة مونت كارلو

كما يتم استخدام أساليب الفروق المحدودة ومحاكاة مونت كارلو، خاصة بالنسبة للخيارات الأمريكية الأكثر تعقيدا أو عند النظر في أرباح الأسهم.

الاختلافات الرئيسية في نمذجة الخيارات الأمريكية والأوروبية

تقدم ميزة التمرين المبكر للخيارات الأمريكية تعقيدا إضافيا في نماذجها الرياضية.

الخيارات الأوروبية لديها حلول مغلقة مثل صيغة بلاك سكولز، مما يجعلها أسهل في التقييم.

غالبا ما تتطلب الخيارات الأمريكية أساليب عددية تكرارية، مثل الشجرة ذات الحدين، لحساب إمكانية التمرين المبكر في كل نقطة زمنية.

الممارسة المبكرة للخيارات الأمريكية

إن الممارسة المبكرة للخيارات الأمريكية تجعل نماذجها الرياضية أكثر تعقيدا.

في الواقع، في أي وقت قبل انتهاء الصلاحية، من الضروري أن تقرر ما إذا كان من الأفضل ممارسة الخيار أو الاحتفاظ به.

ولذلك فمن الضروري استخدام نماذج قادرة على أخذ هذه الخاصية بعين الاعتبار، مثل نموذج الشجرة ذات الحدين أو الأساليب التي تتعامل مع مشكلة الحدود الحرة.

شجرة ذات الحدين في الخيارات الأمريكية

نموذج الشجرة ذات الحدين هو طريقة تحلل عمر الخيار إلى سلسلة من الفواصل الزمنية المنفصلة.

في كل فترة زمنية، يمكن أن يتحرك سعر الأصل الأساسي لأعلى أو لأسفل، مما يؤدي إلى إنشاء شجرة من الأسعار المحتملة.

النموذج ذو أهمية خاصة للخيارات الأمريكية لأنه يسمح بالنظر في التمرين المبكر عند كل عقدة من الشجرة.

تحديد قيمة الخيار عن طريق الحساب العكسي من انتهاء الصلاحية إلى اليوم.

المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) وتقييم الخيارات

تعد PDEs أساسية لتسعير الخيارات لأنها تصف كيفية تغير سعر الخيار بناءً على التغيرات في الأصل الأساسي وبمرور الوقت.

معادلة بلاك سكولز، على سبيل المثال، هي PDE التي تعطي سعر الخيار الأوروبي على أساس معايير مختلفة.

مشكلة الحدود الحرة في الخيارات الأمريكية

وتشكل مشكلة الحدود الحرة أهمية كبيرة بالنسبة للخيارات الأميركية، لأنها تحدد الحدود المثلى للتمرين المبكر.

يمثل هذا الحد أسعار الأصول التي يصبح من الأمثل لها ممارسة الخيار قبل انتهاء الصلاحية.

إن حل هذا القيد يشكل ضرورة أساسية لتقييم خيارات الولايات المتحدة بدقة.

محاكاة مونت كارلو في تقييم الخيارات الأوروبية والأمريكية

تتضمن عمليات محاكاة مونت كارلو إنشاء عدد كبير من المسارات العشوائية لسعر الأصل الأساسي ثم حساب عائد الخيار لكل مسار.

ومن خلال حساب متوسط ​​هذه المكاسب وخصمها، يمكننا تقدير سعر الخيار.

وتتميز هذه الطريقة بالمرونة ويمكن تطبيقها على الخيارات الأمريكية والأوروبية، خاصة عندما يكون من الصعب استخلاص الحلول التحليلية.

نمذجة التقلب في تقييم الخيارات الأوروبية والأمريكية

يمثل التقلب درجة التغير في سعر الأصل الأساسي.

في النماذج الرياضية لكلا النوعين من الخيارات، يعد التقلب معلمة رئيسية.

تؤدي التقلبات العالية بشكل عام إلى زيادة قيمة الخيار - كل شيء آخر متساو - لأنه يعني ضمنا احتمالا أكبر بأن يكون الخيار في المال.

أحد الجوانب الفريدة للخيارات الأوروبية هو أنها لا يمكن أن تكون أكثر قيمة من الخيارات الأمريكية بسبب إمكانية الممارسة المبكرة للخيارات الأمريكية.

توزيعات الأرباح في تقييم الخيارات الأوروبية والأمريكية

توزيعات الأرباح تقلل من قيمة خيارات الاتصال وتزيد من قيمة خيارات البيع.

بالنسبة للخيارات الأمريكية، يمكن أن تجعل الأرباح المتوقعة ممارسة مبكرة أكثر جاذبية لخيارات الاتصال قبل دفع الأرباح.

بالنسبة للخيارات الأوروبية، عادة ما يتم أخذ الأرباح في الاعتبار في نموذج بلاك سكولز عن طريق تعديل سعر الأصل الأساسي.

أسعار الفائدة في تقييم الخيارات الأوروبية والأمريكية.

تعد أسعار الفائدة معلمة مهمة في نماذج تسعير الخيارات.

وهي تمثل القيمة الزمنية للنقود وتؤثر على خصم المدفوعات المستقبلية.

تؤدي الزيادة في أسعار الفائدة بشكل عام إلى زيادة قيمة خيارات الاتصال وتقليل قيمة خيارات الشراء.

التحوط في تسعير الخيارات الأوروبية والأمريكية

يعد التحوط على الخيارات الأمريكية أكثر تعقيدًا نظرًا لإمكانية التمرين المبكر.

ويعني عدم القدرة على التنبؤ هذا أن استراتيجية التحوط يجب تعديلها ديناميكيا وبشكل متكرر، لضمان بقاء المحفظة محايدة للدلتا، أو محمية ضد تحركات الأسعار.

على سبيل المثال، لنفترض أن المتداول يتبع مكالمة مغطاة أو استراتيجية وضع مغطاة.

إذا كان الخيار في المال، يمكن إغلاق التجارة قبل تاريخ انتهاء الصلاحية.

قد تؤثر تصفية المركز على تنويع/رصيد المحفظة، والرصيد النقدي في الحساب، وما إلى ذلك، مما قد يؤدي بدوره إلى محفظة غير محسّنة، وتكاليف الفائدة، وما إلى ذلك.

«اليونانيون» في تقييم الخيارات الأوروبية والأمريكية

يمثل "الإغريق" في تسعير الخيارات حساسية سعر الخيار لعوامل مختلفة:

دلتا

يقيس حساسية سعر الخيار للتغيرات في سعر الأصل الأساسي.

وهو مشابه للخيارات الأمريكية والأوروبية، ولكنه قد يختلف بسبب الممارسة المبكرة للخيارات الأمريكية.

جاما

يدخل معدل التغير في الدلتا.

وهو متطابق لكلا النوعين من الخيارات ويعكس تسارع تباين الأسعار.

فيجا

يشير إلى حساسية للتقلبات.

متشابه بشكل عام لكلا النوعين من الخيارات، ولكن توجد فروق دقيقة بسبب ديناميكيات انتهاء الصلاحية المختلفة.

ثيتا

يمثل حساسية السعر لتسوس الوقت.

قد يكون للخيارات الأمريكية، بسبب حقوق الممارسة المبكرة، ملف تعريف ثيتا مختلف.

رو

يقيس الحساسية للتغيرات في أسعار الفائدة.

على الرغم من أن السلوك الأساسي ثابت، إلا أن الحجم قد يختلف بين الخيارات الأمريكية والأوروبية بسبب فرص التمرين المبكرة.

المصطلحات والتعاريف

بعض المصطلحات والتعاريف المتعلقة بالخيارات الأمريكية والخيارات الأوروبية ونمذجةها الرياضية:

• تسعير الخيارات: عملية تحديد القيمة السوقية العادلة للخيار.
• المشتقات المالية: الأدوات المالية التي تستمد قيمتها من أصل أساسي: الأدوات المالية التي تستمد قيمتها من أصل أساسي أو مجموعة أصول.
• نموذج بلاك سكولز: نموذج رياضي لتقييم خيارات النوع الأوروبي.
• التمرين المبكر: إجراء ممارسة الخيار قبل تاريخ انتهاء صلاحيته.
• نموذج الشجرة ذات الحدين: طريقة لتسعير الخيارات من خلال نمذجة نتائج أسعار مستقبلية متعددة محتملة.
• المعادلة التفاضلية الجزئية (PDE): معادلة تتضمن عدة متغيرات ومشتقاتها الجزئية.
• مشكلة الحدود الحرة: مشكلة PDE التي حدودها غير معروفة ويجب تحديدها كجزء من الحل.
• محاكاة مونت كارلو: طريقة حسابية باستخدام العينات العشوائية لتقدير النتائج العددية.
• طرق الفروق المحدودة: طرق عددية لحل المعادلات التفاضلية باستخدام التقريبات المنفصلة.
• التقلب: قياس التباين في سعر الأداة المالية مع مرور الوقت.
• تاريخ انتهاء الصلاحية: التاريخ الذي يصبح فيه عقد الخيار باطلا.
• سعر التنفيذ: السعر المحدد مسبقًا الذي يمكن عنده ممارسة الخيار.
• التقييم المحايد للمخاطر: تقييم منتجات المشتقات المالية على افتراض عدم وجود تفضيل بين المخاطر والمكافأة.
• توزيعات الأرباح: يتم تحديد سعر ممارسة الخيار بناءً على قيمة الخيار وسعر ممارسته.
• علاوة الخيار: السعر المدفوع للحصول على خيار.
• القيمة الجوهرية: الفرق بين سعر الأصل الأساسي وسعر التنفيذ للخيار.
• القيمة الزمنية: جزء من علاوة الخيار المخصصة للوقت المتبقي حتى انتهاء الصلاحية.
• التحوط: الاستثمار لتقليل مخاطر تحركات الأسعار السلبية.
• اليونانيون (دلتا، جاما، فيجا، ثيتا، رو): قياس حساسية سعر الخيار لعوامل مختلفة.
• التقلب الضمني: تنبؤ السوق بحركة محتملة في سعر الورقة المالية. يتم خصمها من سعر الخيارات.
• فرص المراجحة: حالة يمكن فيها شراء وبيع الأصول في وقت واحد للاستفادة من فروق الأسعار.
• سعر الفائدة: المبلغ الذي يتقاضاه المقرضون من المقترضين، معبرا عنه كنسبة مئوية من أصل القرض.
• الأصل الأساسي: أداة مالية (على سبيل المثال، سهم) يعتمد عليها سعر منتج مشتق.
• خيار الشراء: عقد مالي يمنح حامله الحق، وليس الالتزام، بشراء أصل بسعر محدد.
• خيار البيع: عقد مالي يمنح حامله الحق، ولكن ليس الالتزام، في بيع أصل بسعر محدد.

وسيط خيارات الفانيلا

أسئلة مكررة

خاتمة

على الرغم من أن نوعي الخيارات يشتركان في بعض المبادئ الرياضية الأساسية، فإن حقوق الممارسة المتميزة للخيارات الأوروبية والأمريكية تؤدي إلى اختلاف أساليب النمذجة والتعقيدات.