وتستخدم النمذجة الرياضية للخيارات على نطاق واسع في مجال التمويل.
كل من الخيارات الأمريكية والأوروبية هي أنواع من المشتقات المالية، ولكنها تختلف في حقوق ممارستها، مما يؤدي إلى اختلافات في نماذجها الرياضية.
دعونا نلقي نظرة على هذه الاختلافات:
دعونا نلقي نظرة على أساسيات النمذجة الرياضية للخيارات الأوروبية:
لا يمكن ممارسة الخيارات الأوروبية إلا عند تاريخ انتهاء صلاحيتها.
وهذا يعني أنه إذا قمت بشراء خيار الاتصال الأوروبي، فيمكنك فقط ممارسة الحق في شراء الأصل الأساسي بسعر الإضراب المحدد في تاريخ انتهاء الصلاحية.
النموذج الأكثر شهرة للخيارات الأوروبية هو نموذج بلاك سكولز.
معادلة بلاك سكولز هي معادلة تفاضلية جزئية (PDE) تصف التغير في سعر الخيار.
يوفر حل Black-Scholes PDE سعر الخيار بناءً على سعر الأصل الأساسي والوقت والتقلبات وسعر الفائدة وسعر الإضراب.
في حالة عدم وجود تمرين متوقع، يتم استخدام بلاك سكولز PDE وغيرها من PDEs المماثلة.
بعض البدائل لبلاك سكولز (أو التي تعمل كبديل لنمذجة مكون معين - على سبيل المثال، التقلبات) منتشرة على نطاق واسع:
يستخدم العديد من المتداولين وشركات الاستثمار أيضًا نماذجهم الخاصة.
الآن دعونا نلقي نظرة على أساسيات النمذجة الرياضية للخيارات الأمريكية:
يمكن ممارسة الخيارات الأمريكية في أي وقت حتى تاريخ انتهاء صلاحيتها.
إن إمكانية ممارسة التمرينات المبكرة تجعل تقييمهم أكثر تعقيدًا.
إن تقييم الخيارات الأمريكية أكثر صعوبة بسبب إمكانية الممارسة المبكرة.
طريقة شجرة ذات الحدين
يعد نموذج الشجرة ذات الحدين طريقة شائعة جدًا.
يتم تصميم سعر الأصل الأساسي للتحرك لأعلى أو لأسفل في كل مرحلة، ويتم تحديد قيمة الخيار في كل عقدة مع الأخذ في الاعتبار إمكانية التمرين المبكر.
نموذج الشجرة ذات الحدين هو مثال على سلاسل ماركوف وأشجار القرار في التمويل.
مشكلة الحدود الحرة
هناك طريقة أخرى تتمثل في حل مشكلة الحدود الحرة، حيث تمثل الحدود حد التمرين المتوقع.
سوف يمارس صاحب الخيار الخيار عندما يكون الأمثل. ولذلك فمن المهم تحديد هذا الحد.
طرق الفروق المحدودة ومحاكاة مونت كارلو
كما يتم استخدام أساليب الفروق المحدودة ومحاكاة مونت كارلو، خاصة بالنسبة للخيارات الأمريكية الأكثر تعقيدا أو عند النظر في أرباح الأسهم.
تقدم ميزة التمرين المبكر للخيارات الأمريكية تعقيدا إضافيا في نماذجها الرياضية.
الخيارات الأوروبية لديها حلول مغلقة مثل صيغة بلاك سكولز، مما يجعلها أسهل في التقييم.
غالبا ما تتطلب الخيارات الأمريكية أساليب عددية تكرارية، مثل الشجرة ذات الحدين، لحساب إمكانية التمرين المبكر في كل نقطة زمنية.
إن الممارسة المبكرة للخيارات الأمريكية تجعل نماذجها الرياضية أكثر تعقيدا.
في الواقع، في أي وقت قبل انتهاء الصلاحية، من الضروري أن تقرر ما إذا كان من الأفضل ممارسة الخيار أو الاحتفاظ به.
ولذلك فمن الضروري استخدام نماذج قادرة على أخذ هذه الخاصية بعين الاعتبار، مثل نموذج الشجرة ذات الحدين أو الأساليب التي تتعامل مع مشكلة الحدود الحرة.
نموذج الشجرة ذات الحدين هو طريقة تحلل عمر الخيار إلى سلسلة من الفواصل الزمنية المنفصلة.
في كل فترة زمنية، يمكن أن يتحرك سعر الأصل الأساسي لأعلى أو لأسفل، مما يؤدي إلى إنشاء شجرة من الأسعار المحتملة.
النموذج ذو أهمية خاصة للخيارات الأمريكية لأنه يسمح بالنظر في التمرين المبكر عند كل عقدة من الشجرة.
تحديد قيمة الخيار عن طريق الحساب العكسي من انتهاء الصلاحية إلى اليوم.
تعد PDEs أساسية لتسعير الخيارات لأنها تصف كيفية تغير سعر الخيار بناءً على التغيرات في الأصل الأساسي وبمرور الوقت.
معادلة بلاك سكولز، على سبيل المثال، هي PDE التي تعطي سعر الخيار الأوروبي على أساس معايير مختلفة.
وتشكل مشكلة الحدود الحرة أهمية كبيرة بالنسبة للخيارات الأميركية، لأنها تحدد الحدود المثلى للتمرين المبكر.
يمثل هذا الحد أسعار الأصول التي يصبح من الأمثل لها ممارسة الخيار قبل انتهاء الصلاحية.
إن حل هذا القيد يشكل ضرورة أساسية لتقييم خيارات الولايات المتحدة بدقة.
تتضمن عمليات محاكاة مونت كارلو إنشاء عدد كبير من المسارات العشوائية لسعر الأصل الأساسي ثم حساب عائد الخيار لكل مسار.
ومن خلال حساب متوسط هذه المكاسب وخصمها، يمكننا تقدير سعر الخيار.
وتتميز هذه الطريقة بالمرونة ويمكن تطبيقها على الخيارات الأمريكية والأوروبية، خاصة عندما يكون من الصعب استخلاص الحلول التحليلية.
يمثل التقلب درجة التغير في سعر الأصل الأساسي.
في النماذج الرياضية لكلا النوعين من الخيارات، يعد التقلب معلمة رئيسية.
تؤدي التقلبات العالية بشكل عام إلى زيادة قيمة الخيار - كل شيء آخر متساو - لأنه يعني ضمنا احتمالا أكبر بأن يكون الخيار في المال.
أحد الجوانب الفريدة للخيارات الأوروبية هو أنها لا يمكن أن تكون أكثر قيمة من الخيارات الأمريكية بسبب إمكانية الممارسة المبكرة للخيارات الأمريكية.
توزيعات الأرباح تقلل من قيمة خيارات الاتصال وتزيد من قيمة خيارات البيع.
بالنسبة للخيارات الأمريكية، يمكن أن تجعل الأرباح المتوقعة ممارسة مبكرة أكثر جاذبية لخيارات الاتصال قبل دفع الأرباح.
بالنسبة للخيارات الأوروبية، عادة ما يتم أخذ الأرباح في الاعتبار في نموذج بلاك سكولز عن طريق تعديل سعر الأصل الأساسي.
تعد أسعار الفائدة معلمة مهمة في نماذج تسعير الخيارات.
وهي تمثل القيمة الزمنية للنقود وتؤثر على خصم المدفوعات المستقبلية.
تؤدي الزيادة في أسعار الفائدة بشكل عام إلى زيادة قيمة خيارات الاتصال وتقليل قيمة خيارات الشراء.
يعد التحوط على الخيارات الأمريكية أكثر تعقيدًا نظرًا لإمكانية التمرين المبكر.
ويعني عدم القدرة على التنبؤ هذا أن استراتيجية التحوط يجب تعديلها ديناميكيا وبشكل متكرر، لضمان بقاء المحفظة محايدة للدلتا، أو محمية ضد تحركات الأسعار.
على سبيل المثال، لنفترض أن المتداول يتبع مكالمة مغطاة أو استراتيجية وضع مغطاة.
إذا كان الخيار في المال، يمكن إغلاق التجارة قبل تاريخ انتهاء الصلاحية.
قد تؤثر تصفية المركز على تنويع/رصيد المحفظة، والرصيد النقدي في الحساب، وما إلى ذلك، مما قد يؤدي بدوره إلى محفظة غير محسّنة، وتكاليف الفائدة، وما إلى ذلك.
يمثل "الإغريق" في تسعير الخيارات حساسية سعر الخيار لعوامل مختلفة:
يقيس حساسية سعر الخيار للتغيرات في سعر الأصل الأساسي.
وهو مشابه للخيارات الأمريكية والأوروبية، ولكنه قد يختلف بسبب الممارسة المبكرة للخيارات الأمريكية.
يدخل معدل التغير في الدلتا.
وهو متطابق لكلا النوعين من الخيارات ويعكس تسارع تباين الأسعار.
يشير إلى حساسية للتقلبات.
متشابه بشكل عام لكلا النوعين من الخيارات، ولكن توجد فروق دقيقة بسبب ديناميكيات انتهاء الصلاحية المختلفة.
يمثل حساسية السعر لتسوس الوقت.
قد يكون للخيارات الأمريكية، بسبب حقوق الممارسة المبكرة، ملف تعريف ثيتا مختلف.
يقيس الحساسية للتغيرات في أسعار الفائدة.
على الرغم من أن السلوك الأساسي ثابت، إلا أن الحجم قد يختلف بين الخيارات الأمريكية والأوروبية بسبب فرص التمرين المبكرة.
بعض المصطلحات والتعاريف المتعلقة بالخيارات الأمريكية والخيارات الأوروبية ونمذجةها الرياضية:
والفرق الرئيسي بين الخيارات الأمريكية والأوروبية هو ممارسة حقوقها.
يمكن ممارسة الخيارات الأمريكية في أي وقت حتى تاريخ انتهاء صلاحيتها، في حين لا يمكن ممارسة الخيارات الأوروبية إلا في تاريخ انتهاء صلاحيتها.
يستخدم نموذج بلاك سكولز خصيصا للخيارات الأوروبية لأنه يوفر حلا مغلقا للخيارات التي لا يمكن ممارستها إلا عند انتهاء الصلاحية.
وبما أن الخيارات الأوروبية ليس لديها خيار ممارسة مبكرة، فإن النموذج يبسط تقييمها باستخدام صيغة مباشرة.
لا، لا يمكن للخيارات الأوروبية أن تكون أكثر قيمة من نظيراتها الأميركية.
والواقع أن الخيارات الأميركية توفر مرونة أكبر بفضل خيار التمرين المبكر.
وفي أفضل الأحوال، عندما لا تكون هناك ميزة للممارسة المبكرة، فإن قيمة الخيار الأوروبي تساوي قيمة الخيار الأمريكي.
إن نمذجة الخيارات الأمريكية مكثفة من الناحية الحسابية بسبب إمكانية التمرين المبكر.
يتطلب تحديد استراتيجية التمرين الأمثل النظر في مسارات وسيناريوهات متعددة، خاصة في أساليب مثل الشجرة ذات الحدين.
بالإضافة إلى ذلك، قد يكون حل مشكلة الحدود الحرة أو تشغيل عمليات محاكاة مونت كارلو واسعة النطاق مكلفًا من الناحية الحسابية.
نعم، الاختيار بين الخيارين الأميركي والأوروبي يمكن أن يكون له آثار مالية.
على سبيل المثال، في الأسواق التي يتوقع فيها توزيع الأرباح، قد تكون الممارسة المبكرة لخيارات الاتصال الأمريكية هي الأمثل قبل دفع الأرباح.
وتختلف النتائج المالية بعد ذلك عن تلك التي تم الحصول عليها من خلال الخيار الأوروبي.
بالإضافة إلى ذلك، يمكن أن توفر مرونة الخيارات الأمريكية مزايا استراتيجية في ظروف سوق معينة، مما يؤثر على استراتيجيات التحوط والتداول وإدارة المخاطر.
"الإغريق" هم مقاييس الحساسية في تحديد سعر الخيارات. انهم يفهمون
على الرغم من أن تعريفات الخيارات اليونانية تظل متسقة، إلا أن قيمها قد تختلف بالنسبة للخيارات الأمريكية والأوروبية بسبب إمكانية الممارسة المبكرة للخيارات الأمريكية.
على الرغم من أن نوعي الخيارات يشتركان في بعض المبادئ الرياضية الأساسية، فإن حقوق الممارسة المتميزة للخيارات الأوروبية والأمريكية تؤدي إلى اختلاف أساليب النمذجة والتعقيدات.