Den matematiska modelleringen av optioner används ofta inom finansvärlden.
Amerikanska och europeiska optioner är båda typer av finansiella derivat, men de skiljer sig åt i sina lösenrätter, vilket leder till skillnader i deras matematiska modellering.
Låt oss ta en titt på dessa skillnader:
Låt oss ta en titt på den grundläggande matematiska modelleringen av europeiska optioner:
Europeiska optioner kan endast lösas in på deras förfallodag.
Det innebär att om du köper en europeisk köpoption kan du bara utnyttja rätten att köpa den underliggande tillgången till det angivna lösenpriset på förfallodagen.
Den mest kända modellen för europeiska optioner är Black-Scholes-modellen.
Black-Scholes ekvation är en partiell differentialekvation (PDE) som beskriver utvecklingen av optionspriset.
Lösningen till Black-Scholes PDE ger optionspriset som en funktion av priset på den underliggande tillgången, tiden, volatiliteten, räntan och lösenpriset.
I avsaknad av förtida lösen används Black-Scholes PDE och andra liknande PDE.
Vissa alternativ till Black-Scholes (eller som ett alternativ till att modellera en viss komponent - till exempel volatilitet) är mycket vanliga:
Många handlare och värdepappersföretag använder också sina egna modeller.
Låt oss nu titta på den grundläggande matematiska modelleringen av amerikanska optioner:
Amerikanska optioner kan lösas in när som helst fram till förfallodagen.
Denna möjlighet till tidig inlösen gör värderingen av dem mer komplex.
Värderingen av amerikanska optioner är svårare på grund av möjligheten till förtida inlösen.
Binomial trädmetod
Den binomiala trädmodellen är en allmänt använd metod.
Priset på den underliggande tillgången modelleras för att röra sig upp eller ner i varje steg, och optionens värde bestäms i varje nod, med hänsyn till möjligheten till tidig inlösen.
Den binomiala trädmodellen är ett exempel på Markovkedjor och beslutsträd inom finans.
Problem med fri gräns
Ett annat tillvägagångssätt är att lösa ett problem med fri gräns, där gränsen representerar gränsen för tidigt utnyttjande.
Optionsinnehavaren kommer att utnyttja optionen när den är optimal. Det är därför viktigt att bestämma denna gräns.
Finita differensmetoder och Monte Carlo-simuleringar
Finita differensmetoder och Monte Carlo-simuleringar används också, särskilt för mer komplexa amerikanska optioner eller när utdelningar tas med i beräkningen.
Det faktum att amerikanska optioner kan lösas in i förtid gör den matematiska modelleringen av dem mer komplicerad.
Europeiska optioner har slutna lösningar som Black-Scholes-formeln, vilket gör dem enklare att värdera.
Amerikanska optioner kräver ofta iterativa numeriska metoder, såsom binomialträdet, för att ta hänsyn till möjligheten till förtida inlösen vid vilken tidpunkt som helst.
Tidig inlösen av amerikanska optioner gör deras matematiska modellering mer komplex.
Vid varje tidpunkt före förfallodagen måste ett beslut fattas om huruvida det är optimalt att lösa in optionen eller behålla den.
Det är därför nödvändigt att använda modeller som kan ta hänsyn till denna egenskap, såsom den binomiala trädmodellen eller metoder som hanterar problemet med den fria gränsen.
Den binomiala trädmodellen är en metod som delar upp optionens löptid i en serie diskreta tidsintervall.
Vid varje intervall kan priset på den underliggande tillgången röra sig upp eller ner, vilket skapar ett träd av möjliga priser.
Modellen är särskilt relevant för amerikanska optioner, eftersom den tillåter tidig inlösen vid varje nod i trädet.
Fastställande av optionsvärdet genom baklängesberäkning från förfallodagen till idag.
PDE är grundläggande för optionsprissättning eftersom de beskriver utvecklingen av optionspriset som en funktion av förändringar i den underliggande tillgången och tiden.
Black-Scholes ekvation, till exempel, är en PDE som ger priset på en europeisk option som en funktion av olika parametrar.
Problemet med den fria gränsen är viktigt för amerikanska optioner eftersom det bestämmer den optimala gränsen för tidig lösen.
Denna gräns representerar de tillgångspriser för vilka det blir optimalt att lösa in optionen före förfallodagen.
Att lösa denna gräns är avgörande för att korrekt värdera amerikanska optioner.
Monte Carlo-simuleringar innebär att man genererar ett stort antal slumpmässiga vägar för priset på den underliggande tillgången och sedan beräknar optionens payoff för varje väg.
Genom att beräkna genomsnittet av dessa payoffs och diskontera dem kan optionspriset uppskattas.
Denna metod är flexibel och kan tillämpas på både amerikanska och europeiska optioner, särskilt när analytiska lösningar är svåra att härleda.
Volatiliteten representerar graden av variation i priset på den underliggande tillgången.
I de matematiska modellerna för båda typerna av optioner är volatiliteten en nyckelparameter.
Högre volatilitet ökar i allmänhet optionens värde - allt annat lika - eftersom det innebär en större sannolikhet för att optionen kommer att vara "in the money".
En unik aspekt av europeiska optioner är att de inte kan vara mer värdefulla än amerikanska optioner på grund av möjligheten till tidigt utnyttjande av amerikanska optioner.
Utdelningar minskar värdet på köpoptioner och ökar värdet på säljoptioner.
För amerikanska optioner kan förväntade utdelningar göra tidig lösen mer attraktiv för köpoptioner före utbetalning av en utdelning.
För europeiska optioner beaktas utdelningar i allmänhet i Black-Scholes-modellen genom att justera priset på den underliggande tillgången.
Räntor är en viktig parameter i optionsprissättningsmodeller.
De representerar pengarnas tidsvärde och påverkar diskonteringen av framtida betalningar.
En ökning av räntesatserna ökar i allmänhet värdet på köpoptioner och minskar värdet på säljoptioner.
Säkring av amerikanska optioner är mer komplicerad på grund av möjligheten till tidig inlösen.
Denna oförutsägbarhet innebär att säkringsstrategin måste justeras dynamiskt och oftare för att säkerställa att portföljen förblir deltaneutral eller skyddad mot prisrörelser.
Anta till exempel att en handlare följer en hedgad köp- eller säljoptionsstrategi.
Om optionen är i pengarna kan transaktionen stängas före utgångsdatumet.
Likvidationen av positionen kan påverka diversifieringen/balansen i en portfölj, kassabehållningen på kontot etc., vilket i sin tur kan leda till en icke-optimerad portfölj, räntekostnader etc.
"Grekerna" i prissättningen av optioner visar hur känsligt optionspriset är för olika faktorer:
Mäter optionsprisets känslighet för förändringar i priset på den underliggande tillgången.
Det är likartat för amerikanska och europeiska optioner, men kan variera på grund av det tidiga utnyttjandet av amerikanska optioner.
Anger förändringstakten för delta.
Den är identisk för båda typerna av optioner och återspeglar accelerationen av prisförändringen.
Anger känslighet för volatilitet.
Generellt sett liknande för båda typerna av optioner, men det finns nyanser på grund av de olika utgångsdynamikerna.
Representerar priskänslighet för tidsförfall.
På grund av rätten till tidig lösen kan amerikanska optioner ha en annan Theta-profil.
Mäter känsligheten för förändringar i räntesatser.
Även om det grundläggande beteendet är konsekvent kan storleken variera mellan amerikanska och europeiska optioner på grund av tidiga inlösenrätter.
Några termer och definitioner som rör amerikanska optioner, europeiska optioner och deras matematiska modellering:
Den största skillnaden mellan amerikanska och europeiska optioner ligger i deras lösenrätt.
Amerikanska optioner kan lösas in när som helst fram till förfallodagen, medan europeiska optioner endast kan lösas in på förfallodagen.
Black-Scholes-modellen används specifikt för europeiska optioner eftersom den ger en sluten lösning för optioner som endast kan lösas in på förfallodagen.
Eftersom europeiska optioner inte har någon möjlighet till förtida inlösen förenklar modellen värderingen av dem med hjälp av en enkel formel.
Nej, europeiska optioner kan inte vara mer värdefulla än sina amerikanska motsvarigheter.
Amerikanska optioner erbjuder större flexibilitet tack vare möjligheten till förtida lösen.
I bästa fall, när tidig inlösen inte ger några fördelar, är värdet på den europeiska optionen lika med värdet på den amerikanska optionen.
Modellering av amerikanska optioner kräver många beräkningar på grund av möjligheten till tidig inlösen.
För att fastställa den optimala inlösenstrategin krävs att flera vägar och scenarier beaktas, särskilt i metoder som binomialträdet.
Dessutom kan det vara dyrt att lösa free boundary-problemet eller köra omfattande Monte Carlo-simuleringar.
Ja, valet mellan amerikanska och europeiska optioner kan få finansiella konsekvenser.
På marknader där man förväntar sig utdelningar kan det till exempel vara optimalt att utnyttja amerikanska köpoptioner tidigt innan en utdelning betalas.
De finansiella resultaten skiljer sig då från dem som uppnås med en europeisk option.
Dessutom kan flexibiliteten hos amerikanska optioner ge strategiska fördelar under vissa marknadsförhållanden, vilket påverkar strategier för hedging, handel och riskhantering.
Greker är mått på känslighet vid prissättning av optioner. De omfattar följande
Även om definitionerna av grekerna förblir konsekventa kan deras värden skilja sig åt för amerikanska och europeiska optioner på grund av möjligheten till tidigt utnyttjande av amerikanska optioner.
Även om de två typerna av optioner delar vissa grundläggande matematiska principer, leder de olika lösenrättigheterna för europeiska och amerikanska optioner till olika modelleringsmetoder och komplexitet.
Föregående : Hur man mäter optionsrisker med grekerna | Följande : De fyra häxornas dag |