Amerikanska och europeiska optioner (matematisk modellering)

Den matematiska modelleringen av optioner används ofta inom finansvärlden.

Amerikanska och europeiska optioner är båda typer av finansiella derivat, men de skiljer sig åt i sina lösenrätter, vilket leder till skillnader i deras matematiska modellering.

Låt oss ta en titt på dessa skillnader:

De viktigaste punkterna

• Amerikanska optioner kan lösas in när som helst fram till förfallodagen.
• Europeiska optioner, å andra sidan, kan bara lösas in på förfallodagen.
• Modellering av amerikanska optioner är därför mer komplex på grund av möjligheten till tidig inlösen.
• Black-Scholes-modellen dominerar för europeiska optioner, eftersom den erbjuder en direkt formel för prissättning.
• Amerikanska optioner använder ofta binomialträdmodellen eller löser ett free frontier-problem för att ta hänsyn till tidig inlösen.
• Båda typerna av optioner använder "Greeks" för att mäta känsligheten, men värdena kan skilja sig från en option till en annan.
  • Till exempel kan den tidiga inlösenpotentialen för amerikanska optioner påverka deras delta och theta i förhållande till deras europeiska motsvarigheter.

Europeiska optioner

Låt oss ta en titt på den grundläggande matematiska modelleringen av europeiska optioner:

Utnyttjanderätt

Europeiska optioner kan endast lösas in på deras förfallodag.

Det innebär att om du köper en europeisk köpoption kan du bara utnyttja rätten att köpa den underliggande tillgången till det angivna lösenpriset på förfallodagen.

Matematisk modellering

Den mest kända modellen för europeiska optioner är Black-Scholes-modellen.

Black-Scholes ekvation är en partiell differentialekvation (PDE) som beskriver utvecklingen av optionspriset.

Lösningen till Black-Scholes PDE ger optionspriset som en funktion av priset på den underliggande tillgången, tiden, volatiliteten, räntan och lösenpriset.

I avsaknad av förtida lösen används Black-Scholes PDE och andra liknande PDE.

Alternativ till Black-Scholes

Vissa alternativ till Black-Scholes (eller som ett alternativ till att modellera en viss komponent - till exempel volatilitet) är mycket vanliga:

• Binomial trädmodell
• Trinomial trädmodell
• Monte Carlo-simulering
• Finita differensmetoder
• Bachelier-modellen
• Heston-modellen
• Feynman-Kac-modellen
• Cox-Ross-Rubinstein-modellen
• Garman-Kohlhagen-modellen
• Hull-White-modellen
• Modell för hoppdiffusion
• CEV-modell (konstant elasticitet för varians)
• GARCH-modell (generaliserad autoregressiv villkorlig heteroskedasticitet)
• SABR-modellen
• Bates-modellen

Många handlare och värdepappersföretag använder också sina egna modeller.

Amerikanska optioner

Låt oss nu titta på den grundläggande matematiska modelleringen av amerikanska optioner:

Utnyttjanderätt

Amerikanska optioner kan lösas in när som helst fram till förfallodagen.

Denna möjlighet till tidig inlösen gör värderingen av dem mer komplex.

Matematisk modellering

Värderingen av amerikanska optioner är svårare på grund av möjligheten till förtida inlösen.

Binomial trädmetod

Den binomiala trädmodellen är en allmänt använd metod.

Priset på den underliggande tillgången modelleras för att röra sig upp eller ner i varje steg, och optionens värde bestäms i varje nod, med hänsyn till möjligheten till tidig inlösen.

Den binomiala trädmodellen är ett exempel på Markovkedjor och beslutsträd inom finans.

Problem med fri gräns

Ett annat tillvägagångssätt är att lösa ett problem med fri gräns, där gränsen representerar gränsen för tidigt utnyttjande.

Optionsinnehavaren kommer att utnyttja optionen när den är optimal. Det är därför viktigt att bestämma denna gräns.

Finita differensmetoder och Monte Carlo-simuleringar

Finita differensmetoder och Monte Carlo-simuleringar används också, särskilt för mer komplexa amerikanska optioner eller när utdelningar tas med i beräkningen.

Huvudsakliga skillnader i modelleringen av amerikanska och europeiska optioner

Det faktum att amerikanska optioner kan lösas in i förtid gör den matematiska modelleringen av dem mer komplicerad.

Europeiska optioner har slutna lösningar som Black-Scholes-formeln, vilket gör dem enklare att värdera.

Amerikanska optioner kräver ofta iterativa numeriska metoder, såsom binomialträdet, för att ta hänsyn till möjligheten till förtida inlösen vid vilken tidpunkt som helst.

Förtida inlösen av amerikanska optioner

Tidig inlösen av amerikanska optioner gör deras matematiska modellering mer komplex.

Vid varje tidpunkt före förfallodagen måste ett beslut fattas om huruvida det är optimalt att lösa in optionen eller behålla den.

Det är därför nödvändigt att använda modeller som kan ta hänsyn till denna egenskap, såsom den binomiala trädmodellen eller metoder som hanterar problemet med den fria gränsen.

Binomialträdet i amerikanska optioner

Den binomiala trädmodellen är en metod som delar upp optionens löptid i en serie diskreta tidsintervall.

Vid varje intervall kan priset på den underliggande tillgången röra sig upp eller ner, vilket skapar ett träd av möjliga priser.

Modellen är särskilt relevant för amerikanska optioner, eftersom den tillåter tidig inlösen vid varje nod i trädet.

Fastställande av optionsvärdet genom baklängesberäkning från förfallodagen till idag.

Partiella differentialekvationer (PDE) och optionsvärdering

PDE är grundläggande för optionsprissättning eftersom de beskriver utvecklingen av optionspriset som en funktion av förändringar i den underliggande tillgången och tiden.

Black-Scholes ekvation, till exempel, är en PDE som ger priset på en europeisk option som en funktion av olika parametrar.

Problemet med den fria gränsen i amerikanska optioner

Problemet med den fria gränsen är viktigt för amerikanska optioner eftersom det bestämmer den optimala gränsen för tidig lösen.

Denna gräns representerar de tillgångspriser för vilka det blir optimalt att lösa in optionen före förfallodagen.

Att lösa denna gräns är avgörande för att korrekt värdera amerikanska optioner.

Monte Carlo-simuleringar vid värdering av europeiska och amerikanska optioner

Monte Carlo-simuleringar innebär att man genererar ett stort antal slumpmässiga vägar för priset på den underliggande tillgången och sedan beräknar optionens payoff för varje väg.

Genom att beräkna genomsnittet av dessa payoffs och diskontera dem kan optionspriset uppskattas.

Denna metod är flexibel och kan tillämpas på både amerikanska och europeiska optioner, särskilt när analytiska lösningar är svåra att härleda.

Modellering av volatilitet vid värdering av europeiska och amerikanska optioner

Volatiliteten representerar graden av variation i priset på den underliggande tillgången.

I de matematiska modellerna för båda typerna av optioner är volatiliteten en nyckelparameter.

Högre volatilitet ökar i allmänhet optionens värde - allt annat lika - eftersom det innebär en större sannolikhet för att optionen kommer att vara "in the money".

En unik aspekt av europeiska optioner är att de inte kan vara mer värdefulla än amerikanska optioner på grund av möjligheten till tidigt utnyttjande av amerikanska optioner.

Utdelningar i värderingen av europeiska och amerikanska optioner

Utdelningar minskar värdet på köpoptioner och ökar värdet på säljoptioner.

För amerikanska optioner kan förväntade utdelningar göra tidig lösen mer attraktiv för köpoptioner före utbetalning av en utdelning.

För europeiska optioner beaktas utdelningar i allmänhet i Black-Scholes-modellen genom att justera priset på den underliggande tillgången.

Räntor vid värdering av europeiska och amerikanska optioner.

Räntor är en viktig parameter i optionsprissättningsmodeller.

De representerar pengarnas tidsvärde och påverkar diskonteringen av framtida betalningar.

En ökning av räntesatserna ökar i allmänhet värdet på köpoptioner och minskar värdet på säljoptioner.

Hedging vid prissättning av europeiska och amerikanska optioner

Säkring av amerikanska optioner är mer komplicerad på grund av möjligheten till tidig inlösen.

Denna oförutsägbarhet innebär att säkringsstrategin måste justeras dynamiskt och oftare för att säkerställa att portföljen förblir deltaneutral eller skyddad mot prisrörelser.

Anta till exempel att en handlare följer en hedgad köp- eller säljoptionsstrategi.

Om optionen är i pengarna kan transaktionen stängas före utgångsdatumet.

Likvidationen av positionen kan påverka diversifieringen/balansen i en portfölj, kassabehållningen på kontot etc., vilket i sin tur kan leda till en icke-optimerad portfölj, räntekostnader etc.

Greker" i prissättningen av europeiska och amerikanska optioner

"Grekerna" i prissättningen av optioner visar hur känsligt optionspriset är för olika faktorer:

Delta

Mäter optionsprisets känslighet för förändringar i priset på den underliggande tillgången.

Det är likartat för amerikanska och europeiska optioner, men kan variera på grund av det tidiga utnyttjandet av amerikanska optioner.

Gamma

Anger förändringstakten för delta.

Den är identisk för båda typerna av optioner och återspeglar accelerationen av prisförändringen.

Vega

Anger känslighet för volatilitet.

Generellt sett liknande för båda typerna av optioner, men det finns nyanser på grund av de olika utgångsdynamikerna.

Theta

Representerar priskänslighet för tidsförfall.

På grund av rätten till tidig lösen kan amerikanska optioner ha en annan Theta-profil.

Rho

Mäter känsligheten för förändringar i räntesatser.

Även om det grundläggande beteendet är konsekvent kan storleken variera mellan amerikanska och europeiska optioner på grund av tidiga inlösenrätter.

Termer och definitioner

Några termer och definitioner som rör amerikanska optioner, europeiska optioner och deras matematiska modellering:

• Optionspris: Processen för att fastställa det verkliga marknadsvärdet för en option.
• Finansiella derivat: finansiella instrument vars värde härrör från en underliggande: finansiella instrument vars värde härrör från en underliggande tillgång eller grupp av tillgångar.
• Black-Scholes modell: Matematisk modell som används för att värdera europeiska optioner.
• Tidig inlösen: Inlösen av en option före dess förfallodag.
• Binomial tree model: En metod för att värdera optioner genom att modellera flera möjliga framtida prisutfall.
• Partiell differentialekvation (PDE): En ekvation som involverar flera variabler och deras partiella derivat.
• Free Boundary Problem: Ett PDE-problem vars gräns är okänd och måste bestämmas som en del av lösningen.
• Monte Carlo-simulering: Beräkningsmetod som använder slumpmässiga urval för att uppskatta numeriska resultat.
• Finita differensmetoder: Numeriska metoder för att lösa differentialekvationer med hjälp av diskreta approximationer.
• Volatilitet: Mått på variationen i priset på ett finansiellt instrument över tiden.
• Förfallodag: Datum då ett optionskontrakt förfaller.
• Lösenpris: Det förutbestämda pris till vilket en option kan lösas in.
• Riskneutral värdering: Värdering av finansiella derivat utifrån antagandet att det inte finns någon preferens mellan risk och avkastning.
• Dividend: Lösenpriset för en option bestäms av optionens värde och dess lösenpris.
• Optionspremie: Det pris som betalas för att förvärva en option.
• Inneboende värde: Skillnaden mellan priset på den underliggande tillgången och lösenpriset för en option.
• Tidsvärde: Den del av en options premie som hänför sig till den tid som återstår till förfallodagen.
• Hedging: Investeringar för att minska risken för negativa prisrörelser.
• Greker (Delta, Gamma, Vega, Theta, Rho): Mått på hur känsligt priset på en option är för olika faktorer.
• Implicit volatilitet: Marknadens prognos för en sannolik rörelse i priset på ett värdepapper. Den härleds från optionspriserna.
• Arbitragemöjligheter: Situation där det är möjligt att köpa och sälja tillgångar samtidigt för att dra nytta av prisskillnader.
• Ränta: Det belopp som långivare tar ut av låntagare, uttryckt i procent av kapitalbeloppet.
• Underliggande tillgång: Finansiellt instrument (t.ex. en aktie) som ligger till grund för priset på ett derivat.
• Köpoption: Ett finansiellt kontrakt som ger innehavaren rätt, men inte skyldighet, att köpa en tillgång till ett angivet pris.
• Put-option : Ett finansiellt kontrakt som ger innehavaren rätten, men inte skyldigheten, att sälja en tillgång till ett angivet pris.

Optioner mäklare

Mäklare	Förordningar	Plattformar	Minsta insättning	Typ av optioner
	Tyskland (BaFin)	IG, ProRealTime	300 €	Vanilla optioner (OTC) Barriärprodukter (OTC) Turbo24 (MTF)
	Irland (FRSA)	AvaOptioner	100 €	Valutaoptioner (OTC)
Att investera innebär risk för förlust. Optionskontrakt är komplexa finansiella produkter avsedda för erfarna investerare.

Vanliga frågor

Slutsats

Även om de två typerna av optioner delar vissa grundläggande matematiska principer, leder de olika lösenrättigheterna för europeiska och amerikanska optioner till olika modelleringsmetoder och komplexitet.