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Opzioni americane ed europee (modellizzazione matematica)
La modellizzazione matematica delle opzioni è ampiamente utilizzata in finanza.
Le opzioni americane ed europee sono entrambi tipi di strumenti finanziari derivati, ma si differenziano per i loro diritti di esercizio, il che porta a differenze nella loro modellizzazione matematica.
Diamo un'occhiata a queste differenze:
Punti chiave
- Le opzioni americane possono essere esercitate in qualsiasi momento fino alla scadenza.
- Le opzioni europee, invece, possono essere esercitate solo alla scadenza.
- La modellizzazione delle opzioni americane è quindi più complessa a causa della possibilità di esercizio anticipato.
- Il modello Black-Scholes è predominante per le opzioni europee, in quanto offre una formula diretta per la determinazione del prezzo.
- Le opzioni americane utilizzano spesso il modello ad albero binomiale o risolvono un problema di frontiera libera per tenere conto dell'esercizio anticipato.
- Entrambi i tipi di opzioni utilizzano le "greche" per misurare la sensibilità, ma i valori possono variare da un'opzione all'altra.
- Ad esempio, il potenziale di esercizio anticipato delle opzioni americane può influenzare il loro delta e theta rispetto alle controparti europee.
Opzioni europee
Vediamo la modellazione matematica di base delle opzioni europee:
Diritti di esercizio
Le opzioni europee possono essere esercitate solo alla data di scadenza.
Ciò significa che se acquistate un'opzione call europea, potete esercitare il diritto di acquistare il sottostante al prezzo di esercizio specificato solo alla data di scadenza.
Modelli matematici
Il modello più noto per le opzioni europee è il modello di Black-Scholes.
L'equazione di Black-Scholes è un'equazione differenziale parziale (PDE) che descrive l'evoluzione del prezzo dell'opzione.
La soluzione della PDE di Black-Scholes fornisce il prezzo dell'opzione in funzione del prezzo dell'attività sottostante, del tempo, della volatilità, del tasso di interesse e del prezzo di esercizio.
In assenza di esercizio anticipato, si utilizzano la PDE di Black-Scholes e altre PDE simili.
Alternative a Black-Scholes
Alcune alternative a Black-Scholes (o come alternativa alla modellizzazione di una determinata componente, ad esempio la volatilità) sono molto comuni:
- Modello ad albero binomiale
- Modello ad albero trinomiale
- Simulazione Monte Carlo
- Metodi alle differenze finite
- Modello Bachelier
- Modello di Heston
- Modello Feynman-Kac
- Modello Cox-Ross-Rubinstein
- Modello Garman-Kohlhagen
- Modello Hull-White
- Modello di diffusione a salto
- Modello CEV (elasticità costante della varianza)
- Modello GARCH (eteroschedasticità condizionale autoregressiva generalizzata)
- Modello SABR
- Modello Bates
Molti trader e società di investimento utilizzano anche modelli propri.
Opzioni americane
Vediamo ora la modellazione matematica di base delle opzioni americane:
Diritti di esercizio
Le opzioni americane possono essere esercitate in qualsiasi momento fino alla data di scadenza.
Questa possibilità di esercizio anticipato rende più complessa la loro valutazione.
Modellizzazione matematica
La valutazione delle opzioni americane è più difficile a causa della possibilità di esercizio anticipato.
Metodo dell'albero binomiale
Il modello ad albero binomiale è un metodo ampiamente utilizzato.
Il prezzo dell'attività sottostante è modellato per muoversi verso l'alto o verso il basso a ogni passo e il valore dell'opzione è determinato a ogni nodo, tenendo conto della possibilità di esercizio anticipato.
Il modello ad albero binomiale è un esempio di catene di Markov e alberi decisionali in finanza.
Problema della frontiera libera
Un altro approccio consiste nel risolvere un problema di frontiera libera, dove la frontiera rappresenta il limite di esercizio anticipato.
Il titolare dell'opzione eserciterà l'opzione quando sarà ottimale. È quindi importante determinare questo limite.
Metodi alle differenze finite e simulazioni Monte Carlo
Si ricorre anche ai metodi delle differenze finite e alle simulazioni Monte Carlo, in particolare per le opzioni americane più complesse o quando si tiene conto dei dividendi.
Principali differenze nella modellizzazione delle opzioni americane ed europee
La caratteristica dell'esercizio anticipato delle opzioni americane introduce un'ulteriore complessità nella loro modellizzazione matematica.
Le opzioni europee hanno soluzioni in forma chiusa, come la formula di Black-Scholes, che le rende più semplici da valutare.
Le opzioni americane richiedono spesso metodi numerici iterativi, come l'albero binomiale, per tenere conto della possibilità di esercizio anticipato in qualsiasi momento.
Esercizio anticipato delle opzioni americane
L'esercizio anticipato delle opzioni americane rende più complessa la loro modellizzazione matematica.
In qualsiasi momento prima della scadenza, è necessario decidere se è ottimale esercitare l'opzione o mantenerla.
È quindi necessario utilizzare modelli in grado di tenere conto di questa caratteristica, come il modello ad albero binomiale o i metodi che trattano il problema della frontiera libera.
L'albero binomiale nelle opzioni americane
Il modello ad albero binomiale è un metodo che suddivide la vita dell'opzione in una serie di intervalli di tempo discreti.
A ogni intervallo, il prezzo dell'attività sottostante può salire o scendere, creando un albero di prezzi possibili.
Il modello è particolarmente rilevante per le opzioni americane, in quanto consente l'esercizio anticipato in ogni nodo dell'albero.
Determinazione del valore dell'opzione mediante calcolo a ritroso dalla scadenza a oggi.
Equazioni differenziali parziali (PDE) e valutazione delle opzioni
Le PDE sono fondamentali per il pricing delle opzioni perché descrivono l'evoluzione del prezzo dell'opzione in funzione delle variazioni dell'attività sottostante e del tempo.
L'equazione di Black-Scholes, ad esempio, è una PDE che fornisce il prezzo di un'opzione europea in funzione di vari parametri.
Il problema della frontiera libera nelle opzioni americane
Il problema della frontiera libera è importante per le opzioni americane perché determina la frontiera ottimale di esercizio anticipato.
Questa frontiera rappresenta i prezzi delle attività per le quali diventa ottimale esercitare l'opzione prima della scadenza.
Risolvere questa frontiera è essenziale per valutare accuratamente le opzioni americane.
Simulazioni Monte Carlo nella valutazione delle opzioni europee e americane
Le simulazioni Monte Carlo prevedono la generazione di un gran numero di percorsi casuali per il prezzo dell'attività sottostante e il calcolo del payoff dell'opzione per ciascun percorso.
Facendo la media di questi payoff e attualizzandoli, è possibile stimare il prezzo dell'opzione.
Questo metodo è flessibile e può essere applicato sia alle opzioni americane che a quelle europee, soprattutto quando è difficile ricavare soluzioni analitiche.
Modellare la volatilità nella valutazione delle opzioni europee e americane
La volatilità rappresenta il grado di variazione del prezzo dell'attività sottostante.
Nei modelli matematici di entrambi i tipi di opzioni, la volatilità è un parametro fondamentale.
Una volatilità più elevata aumenta generalmente il valore dell'opzione - a parità di altre condizioni - perché implica una maggiore probabilità che l'opzione sia in the money.
Un aspetto unico delle opzioni europee è che non possono avere un valore superiore a quello delle opzioni americane a causa della possibilità di esercizio anticipato delle opzioni americane.
I dividendi nella valutazione delle opzioni europee e americane
I dividendi riducono il valore delle opzioni call e aumentano quello delle opzioni put.
Per le opzioni americane, i dividendi attesi possono rendere più interessante l'esercizio anticipato delle opzioni call prima del pagamento di un dividendo.
Per le opzioni europee, i dividendi sono generalmente presi in considerazione nel modello di Black-Scholes aggiustando il prezzo dell'attività sottostante.
Tassi di interesse nella valutazione delle opzioni europee e americane.
I tassi di interesse sono un parametro importante nei modelli di pricing delle opzioni.
Essi rappresentano il valore temporale del denaro e influenzano l'attualizzazione dei pagamenti futuri.
Un aumento dei tassi di interesse generalmente aumenta il valore delle opzioni call e diminuisce quello delle opzioni put.
La copertura nel pricing delle opzioni europee e americane
La copertura delle opzioni americane è più complessa a causa della possibilità di esercizio anticipato.
Questa imprevedibilità significa che la strategia di copertura deve essere adattata dinamicamente e più frequentemente, per garantire che il portafoglio rimanga delta-neutrale o protetto dalle variazioni di prezzo.
Ad esempio, supponiamo che un trader segua una strategia di opzioni call o put con copertura.
Se l'opzione è in the money, la transazione può essere chiusa prima della data di scadenza.
La liquidazione della posizione può influire sulla diversificazione/equilibrio di un portafoglio, sul saldo di cassa del conto, ecc.
Le "greche" nel pricing delle opzioni europee e americane
Le "greche" nel pricing delle opzioni rappresentano la sensibilità del prezzo dell'opzione a vari fattori:
Delta
Misura la sensibilità del prezzo dell'opzione alle variazioni del prezzo dell'attività sottostante.
È simile per le opzioni americane ed europee, ma può variare a causa dell'esercizio anticipato delle opzioni americane.
Gamma
Indica il tasso di variazione del delta.
È identico per entrambi i tipi di opzioni e riflette l'accelerazione della variazione del prezzo.
Vega
Indica la sensibilità alla volatilità.
Generalmente è simile per entrambi i tipi di opzioni, ma ci sono delle sfumature dovute alle diverse dinamiche di scadenza.
Teta
Rappresenta la sensibilità del prezzo al decadimento temporale.
A causa dei diritti di esercizio anticipato, le opzioni americane possono avere un profilo Theta diverso.
Rho
Misura la sensibilità alle variazioni dei tassi di interesse.
Sebbene il comportamento fondamentale sia coerente, l'entità può variare tra le opzioni americane ed europee a causa dei diritti di esercizio anticipato.
Termini e definizioni
Alcuni termini e definizioni relativi alle opzioni americane, alle opzioni europee e alla loro modellizzazione matematica:
- Prezzo dell'opzione: il processo di determinazione del valore equo di mercato di un'opzione.
- Strumenti finanziari derivati: strumenti finanziari il cui valore deriva da un sottostante: strumenti finanziari il cui valore deriva da un'attività o da un gruppo di attività sottostanti.
- Modello di Black-Scholes: modello matematico utilizzato per valutare le opzioni di tipo europeo.
- Esercizio anticipato: azione di esercizio di un'opzione prima della sua scadenza.
- Modello ad albero binomiale: metodo di valutazione delle opzioni basato sulla modellizzazione di molteplici possibili risultati futuri dei prezzi.
- Equazione differenziale parziale (PDE): equazione che coinvolge diverse variabili e le loro derivate parziali.
- Problema del limite libero: problema PDE il cui limite è sconosciuto e deve essere determinato come parte della soluzione.
- Simulazione Monte Carlo: metodo di calcolo che utilizza un campionamento casuale per stimare i risultati numerici.
- Metodi alle differenze finite: metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali che utilizzano approssimazioni discrete.
- Volatilità: Misura della variazione del prezzo di uno strumento finanziario nel tempo.
- Data di scadenza: data in cui scade un contratto di opzione.
- Prezzo di esercizio: prezzo predeterminato al quale un'opzione può essere esercitata.
- Valutazione neutrale rispetto al rischio: valutazione degli strumenti finanziari derivati in base all'ipotesi che non esista una preferenza tra rischio e rendimento.
- Dividendo: il prezzo di esercizio di un'opzione è determinato dal valore dell'opzione e dal suo prezzo di esercizio.
- Premio dell'opzione: il prezzo pagato per acquisire un'opzione.
- Valore intrinseco: differenza tra il prezzo dell'attività sottostante e il prezzo di esercizio di un'opzione.
- Valore temporale: la parte del premio di un'opzione attribuita al tempo rimanente alla scadenza.
- Hedging: investimento per ridurre il rischio di movimenti avversi dei prezzi.
- Greche (Delta, Gamma, Vega, Theta, Rho): misura della sensibilità del prezzo di un'opzione a diversi fattori.
- Volatilità implicita: previsione del mercato su un probabile movimento del prezzo di un titolo. Si deduce dai prezzi delle opzioni.
- Opportunità di arbitraggio: situazione in cui le attività possono essere acquistate e vendute contemporaneamente per trarre vantaggio dalle differenze di prezzo.
- Tasso d'interesse: importo addebitato dai mutuanti ai mutuatari, espresso come percentuale del capitale.
- Attività sottostante: strumento finanziario (ad esempio un'azione) su cui si basa il prezzo di un derivato.
- Opzione call: contratto finanziario che conferisce al titolare il diritto, ma non l'obbligo, di acquistare un'attività a un determinato prezzo.
- Opzione put: Contratto finanziario che conferisce al titolare il diritto, ma non l'obbligo, di vendere un'attività a un determinato prezzo.
Broker di opzioni
| Brokers | Regolamento | Piattaforme | Deposito minimo | Tipi di opzioni |
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| Investire comporta il rischio di perdita. I contratti di opzione sono prodotti finanziari complessi destinati a investitori esperti. | ||||
Domande frequenti
Quali sono le principali differenze tra le opzioni americane e quelle europee?
La differenza principale tra le opzioni americane e quelle europee risiede nei loro diritti di esercizio.
Le opzioni americane possono essere esercitate in qualsiasi momento fino alla data di scadenza, mentre le opzioni europee possono essere esercitate solo alla data di scadenza.
Perché il modello di Black-Scholes è utilizzato specificamente per le opzioni europee?
Il modello di Black-Scholes viene utilizzato specificamente per le opzioni europee perché fornisce una soluzione chiusa per le opzioni che possono essere esercitate solo alla scadenza.
Poiché le opzioni europee non hanno la possibilità di essere esercitate anticipatamente, il modello semplifica la loro valutazione utilizzando una formula semplice.
Le opzioni europee possono valere più di quelle americane?
No, le opzioni europee non possono valere più delle loro controparti americane.
Le opzioni americane offrono una maggiore flessibilità grazie alla possibilità di esercizio anticipato.
Nel migliore dei casi, quando l'esercizio anticipato non offre alcun vantaggio, il valore dell'opzione europea è uguale a quello dell'opzione americana.
Quali sono le sfide informatiche legate alla modellizzazione delle opzioni americane?
La modellizzazione delle opzioni americane richiede molti calcoli a causa della possibilità di esercizio anticipato.
La determinazione della strategia di esercizio ottimale richiede la considerazione di diversi percorsi e scenari, soprattutto in metodi come l'albero binomiale.
Inoltre, la soluzione del problema del limite libero o l'esecuzione di ampie simulazioni Monte Carlo possono essere computazionalmente costose.
Esistono scenari reali in cui la scelta tra opzioni statunitensi ed europee ha un impatto significativo sui risultati finanziari?
Sì, la scelta tra opzioni statunitensi ed europee può avere implicazioni finanziarie.
Ad esempio, nei mercati in cui si prevedono dividendi, l'esercizio anticipato delle opzioni call statunitensi può essere ottimale prima che venga pagato un dividendo.
I risultati finanziari sono quindi diversi da quelli ottenuti con un'opzione europea.
Inoltre, la flessibilità delle opzioni americane può offrire vantaggi strategici in determinate condizioni di mercato, influenzando le strategie di copertura, trading e gestione del rischio.
Cosa sono le "greche" nel pricing delle opzioni?
Le "greche" sono misure di sensibilità nel pricing delle opzioni. Esse comprendono
- Delta: sensibilità del prezzo dell'opzione alle variazioni del prezzo dell'attività sottostante.
- Gamma: sensibilità del delta alle variazioni del prezzo dell'attività sottostante.
- Vega: sensibilità alle variazioni della volatilità.
- Theta: Sensibilità al passare del tempo.
- Rho: sensibilità alle variazioni del tasso di interesse.
Sebbene le definizioni delle greche rimangano coerenti, i loro valori possono differire per le opzioni americane ed europee a causa della possibilità di esercizio anticipato delle opzioni americane.
Conclusione
Sebbene i due tipi di opzioni condividano alcuni principi matematici fondamentali, i diversi diritti di esercizio delle opzioni europee e americane comportano approcci e complessità di modellizzazione diversi.
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