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Lettere greche per il pricing delle opzioni

Lettere greche per il pricing delle opzioni

Nella finanza quantitativa, e più specificamente nel pricing delle opzioni, le lettere greche sono utilizzate per mettere in relazione la sensibilità del prezzo dell'opzione alle variazioni dei parametri sottostanti, come :

  • il prezzo (delta)
  • il tasso di variazione del prezzo (gamma)
  • il tempo (theta)
  • la volatilità (vega)
  • il tasso di interesse (rho)

Negli ambienti della finanza, del trading e degli investimenti, questi parametri sono spesso chiamati semplicemente “greche”.

Vengono anche comunemente chiamati parametri di copertura o misure di rischio.

Le greche si applicano a tutti i tipi di valutazione delle opzioni, indipendentemente dall'attività sottostante (azioni, obbligazioni, valute, materie prime).

Broker di opzioni

BrokersRegolamentoPiattaformeDeposito minimoTipi di opzioni
Germania (BaFin)IG, ProRealTime300 €Opzioni Vanilla (OTC)
Prodotti barriera (OTC)
Turbo24 (MTF)
Irlanda (FRSA) AvaOptions100 €Opzioni Vanilla (OTC)
Investire comporta il rischio di perdita. I contratti di opzione sono prodotti finanziari complessi destinati a investitori esperti.

Le greche del prezzo delle opzioni

Ecco le cinque più importanti per la determinazione del prezzo delle opzioni:

Delta

Il delta indica quanto si guadagnerà se l'attività sottostante aumenta di un dollaro.

Se il delta è pari a 0,524, significa che per ogni aumento di un dollaro del sottostante guadagnerete 0,524 dollari per azione. Per ogni contratto di opzione, che comprende 100 azioni, guadagnerete 52,40 dollari.

È importante notare che :

  • Le opzioni call hanno sempre un delta positivo.
  • Le opzioni Puts hanno delta negativi.

Le opzioni Deep in-the-money (DITM) hanno un delta prossimo a 1, il che significa che il profitto è quasi uguale al prezzo dell'attività sottostante.

Le opzioni deep out-of-the-money (DOTM) hanno delta prossimi a 0 e si muovono molto poco con il prezzo dell'attività sottostante.

Theta

Il theta misura il decadimento temporale di un'opzione.

Per le opzioni in-the-money, il theta aumenta con l'avvicinarsi della data di scadenza dell'opzione.

Per le opzioni in-the-money e out-of-the-money, il theta diminuisce con l'avvicinarsi della scadenza dell'opzione.

Il theta aiuta a spiegare come il tempo eroda (o aumenti) il valore di un'opzione.

Quanto più lontana è la scadenza dell'opzione, tanto meno rapidamente il theta si deteriora, a differenza di quanto accade con l'avvicinarsi della liquidazione.

Le opzioni a lungo termine sono quindi più adatte a strategie che dipendono meno dalla capacità del tempo di ridurre il valore di un'opzione.

Un'opzione a breve termine sarà più adatta a strategie di opzioni speciali che cercano di trarre vantaggio dal decadimento del tempo.

Vega

Il Vega misura la sensibilità del prezzo dell'opzione alla volatilità.

Vega tende a essere considerato un sinonimo esatto di volatilità, poiché entrambi iniziano con la lettera V. Tuttavia, la volatilità è descritta da sigma, mentre vega è una proprietà dell'opzione stessa piuttosto che un parametro di input come la volatilità.

Tuttavia, la volatilità è descritta dal sigma, mentre il vega è una proprietà dell'opzione stessa piuttosto che un parametro di input come la volatilità.

Un aumento della volatilità porterà naturalmente a un aumento del prezzo delle opzioni call e put.

Allo stesso modo, una diminuzione della volatilità porterà a una diminuzione del prezzo di call e put. Tuttavia, ogni opzione è leggermente diversa in termini di sensibilità della sua variazione di prezzo alla volatilità, che viene quantificata dal vega.

I vega più elevati si osservano per le opzioni in-the-money (ATM), mentre i vega più bassi si osservano per le opzioni in-the-money (ITM) o out-of-the-money (OTM).

Il vega non è distribuito equamente su entrambi i lati del prezzo sottostante. Non scende con la stessa facilità con cui il prezzo sottostante sale.

Ciò è dovuto al modo in cui il prezzo sottostante opera nella definizione matematica del vega, che mantiene il vega a un livello più alto nella parte superiore della distribuzione.

Ad esempio, per un'azione con un prezzo d'esercizio di 100, il vega sarà più alto a un prezzo di 105 che a un prezzo di 95, anche se sono tutti alla stessa distanza dal prezzo d'esercizio.

Rho

Rho è il tasso di variazione del prezzo di un'opzione rispetto al tasso di interesse privo di rischio.

Pertanto, ogni volta che un tasso d'interesse cambia (il che può riferirsi a qualsiasi scadenza lungo la curva dei rendimenti), ciò influisce sul valore di rho.

Se un'opzione ha un valore di rho pari a 5,17, per ogni aumento dell'1% del tasso di interesse, l'opzione otterrà un valore aggiuntivo del 5,17%.

Per le call, il valore di rho sarà positivo. Per le put, il valore di rho sarà negativo.

Lambda

Lambda λ, omega Ω o elasticità è la variazione percentuale del valore di un'opzione per variazione percentuale del prezzo sottostante.

Il lambda è considerato una misura della leva finanziaria, talvolta indicata come gearing.

Epsilon

Epsilon ε (noto anche come psi ψ), è la variazione percentuale del valore dell'opzione per ogni variazione percentuale del rendimento da dividendo sottostante.

È una misura del rischio di dividendo. Nel mondo finanziario, l'impatto dei rendimenti da dividendi viene determinato utilizzando un aumento del 10% di tali rendimenti.

Questa sensibilità può essere applicata solo ai derivati azionari.

Greche del secondo ordine

Le greche del secondo ordine sono greche di ordine superiore che tengono conto dei cambiamenti nelle greche sottostanti.

Le più popolari sono gamma, vanna e charm.

Queste greche di ordine superiore consentono al trader di comprendere meglio come la sua posizione reagirà alla greca sottostante o ad altre greche.

Possono essere utili nella gestione di un portafoglio di opzioni e altri derivati.

Gamma

Il Gamma indica il tasso di variazione del delta al variare del prezzo del sottostante.

È essenzialmente la derivata del delta rispetto al prezzo del sottostante.

Il gamma è massimo per le opzioni in-the-money (ATM).

Varia molto poco per le opzioni ampiamente in the money o ampiamente out of the money.

Gamma

Il gamma è spesso descritto come il tasso di variazione del delta di un'opzione per ogni punto (o percentuale) di variazione del prezzo dell'attività sottostante.

Il gamma è la seconda derivata della funzione di valore rispetto al prezzo sottostante.

La maggior parte delle opzioni lunghe ha un gamma positivo e la maggior parte delle opzioni corte ha un gamma negativo.

Le opzioni lunghe hanno una relazione positiva con il gamma. All'aumentare del prezzo, aumenta anche il gamma, in modo che il delta si avvicini a 1 da 0 (long call) e a 0 da -1 (long put). L'opposto è vero per le opzioni corte.

Il gamma è massimo in prossimità del denaro (ATM) e diminuisce man mano che ci si allontana dal denaro (ITM) o dal denaro (OTM).

Quando i trader cercano di coprire una posizione delta, possono anche cercare di neutralizzare il gamma del portafoglio.

Ciò garantisce che la copertura sia efficace non solo su un intervallo ridotto di movimenti di prezzo (come nel caso della copertura delta), ma anche su un intervallo più ampio, e corregge la convessità del titolo.

Vanna

Il vanna è il tasso di variazione del vega di un'opzione per ogni movimento di un punto (o percentuale) del prezzo dell'attività sottostante.

Il vanna è conosciuto anche con i seguenti nomi:

  • DvegaDspot
  • DdeltaDvol

Si tratta di una derivata di secondo ordine del valore dell'opzione, una volta in relazione al prezzo spot del sottostante e una volta in relazione alla volatilità.

È l'equivalente di DdeltaDvol, che rappresenta la sensibilità del delta dell'opzione alle variazioni della volatilità.

Poiché Vanna tiene traccia del delta e del vega, può essere utile monitorarlo quando si mantiene un portafoglio coperto da delta e/o vega.

Vanna può aiutare il trader ad anticipare le variazioni dell'efficacia di una copertura delta in funzione delle variazioni della volatilità o dell'efficacia di una copertura vega in funzione delle variazioni del sottostante.

Charm

Il charm è il tasso di variazione del delta di un'opzione per movimento di un punto (o di un punto percentuale) nel tempo fino alla scadenza.

Il charm è noto anche come DdeltaDtime. Per i trader può essere importante prendere in considerazione il delta quando si copre una posizione durante i periodi di chiusura dei mercati, come un fine settimana o una festività prolungata.

Il charm è una derivata di secondo ordine del valore dell'opzione, una volta in relazione al delta (prezzo) e una volta in relazione al theta (passaggio di tempo). È anche una derivata del theta rispetto al prezzo dell'attività sottostante.

Il risultato matematico della formula di charm è espresso come delta/anno.

Può essere utile dividerlo per il numero di giorni alla scadenza di un'opzione per ottenere la diminuzione del delta al giorno.

Questo metodo è relativamente accurato quando il numero di giorni rimanenti alla scadenza dell'opzione è elevato. Tuttavia, quando un'opzione è prossima alla scadenza, il charm può cambiare rapidamente, rendendo imprecisa questa stima del decadimento del delta.

Vomma

Vomma è conosciuto anche come :

  • Volga
  • Vega convessità
  • DvegaDvol

Misura la sensibilità di secondo ordine (convessità) del valore di un'opzione alla volatilità. In altre parole, il vomma misura il tasso di variazione del vega in funzione della volatilità.

Se il vomma è positivo, una posizione diventa lunga sul vega quando la volatilità implicita aumenta e corta sul vega quando diminuisce. I trader possono fare scalping sul vomma come se fossero long sul gamma.

Pertanto, alcuni trader che cercano di fare scalping su vomma cercheranno di creare una posizione vega-neutrale, lunga su vomma, che può essere costruita da rapporti di opzioni a diversi prezzi di esercizio. Si tratta di una strategia difficile da attuare per un singolo trader, data la necessità di utilizzare un software per monitorare le esposizioni e di entrare e uscire rapidamente.

Il vomma è positivo per le opzioni lunghe out-of-the-money (OTM) e inizialmente aumenta con la distanza dalla valuta (ma diminuisce con la diminuzione del vega).

Veta

Veta, noto anche come DvegaDtime, misura il tasso di variazione di vega rispetto al passare del tempo.

Veta è la seconda derivata della funzione valore, una volta rispetto alla volatilità e una volta rispetto al tempo.

Vera (rhova)

Vera, nota anche come rhova, misura il tasso di variazione di rho rispetto alla volatilità.

Vera è la seconda derivata della funzione valore; una volta rispetto alla volatilità e una volta rispetto al tasso di interesse.

Vera è generalmente la meno popolare delle greche del secondo ordine, perché la misurazione delle variazioni di rho in relazione alle variazioni della volatilità non è così comune. La copertura Vera non è così popolare come la copertura gamma.

Il termine “Vera” è stato coniato nel 2012 quando questa sensibilità è stata utilizzata per valutare l'impatto delle variazioni di volatilità sull'hedging rho, ma mancava un nome popolare, a parte qualcosa di più descrittivo, come DrhoDvol.

Il nome “Vera” è stato scelto come una sorta di amalgama di Vega e Rho, i rispettivi nomi greci del primo ordine. Rhova è un'altra variante di questo nome, ma Vera è più popolare, poiché è anche simile a Vega e Veta.

Greche del terzo ordine

Le greche del terzo ordine sono la continuazione delle greche del primo e del secondo ordine.

Le quattro più importanti sono

  • Speed
  • Zomma
  • Colore
  • Ultima

Speed

Speed è noto anche come DgammaDspot o “la gamma della gamma”.

Speed è la terza derivata della funzione valore in relazione al prezzo spot sottostante.

È la terza derivata della catena dopo delta e gamma. Lo Speed può quindi essere importante da monitorare durante la copertura delta o gamma di un'esposizione o di un portafoglio complessivo.

Lo speed è una variabile greca relativamente poco popolare perché è più difficile da negoziare rispetto alle altre, ma questo è generalmente il caso di tutte le variabili greche di terzo ordine quando iniziano a diventare più complesse.

Raramente si sente parlare di “copertura speed” e spesso le coperture possono spostare il rischio verso altre forme, come la creazione di esposizioni indesiderate di vega o delta.

Zomma

Lo zomma è talvolta indicato come DgammaDvol.

Lo Zomma è la terza derivata del valore dell'opzione, due volte in relazione al prezzo dell'attività sottostante e una volta in relazione alla volatilità.

Se un trader gestisce un portafoglio con copertura gamma, lo zomma può aiutarlo a monitorare l'efficacia della copertura in relazione alle variazioni della volatilità.

Color

Color, noto anche come decadimento gamma o DgammaDtime, misura il tasso di variazione del gamma in funzione del tempo.

Color è una derivata di terzo ordine del valore dell'opzione, due volte rispetto al delta (o una volta rispetto al gamma) e una volta rispetto al tempo.

Viene talvolta utilizzato dai trader che effettuano la copertura gamma di una posizione o di un portafoglio, in modo da poter seguire l'evoluzione della copertura nel tempo.

Matematicamente, il colore è espresso in gamma per anno. I trader possono quindi prendere il risultato e dividerlo per 365 - cioè il numero di giorni all'anno - per trovare la quantità di gamma al giorno.

Se mancano molti giorni alla scadenza, questa misura è relativamente accurata. Tuttavia, più la scadenza è vicina, maggiore è la discrepanza.

Ultima

Ultima, noto anche come DvommaDvol, misura la sensibilità della vomma dell'opzione alle variazioni della volatilità, ovvero la variazione della convessità del vega rispetto alla volatilità.

Ultima è essenzialmente una derivata di terzo ordine del valore dell'opzione rispetto alla volatilità.

Le greche delle opzioni multi-asset

Se il valore di un derivato dipende da due o più strumenti sottostanti, le sue greche vengono estese per includere gli effetti incrociati tra gli strumenti sottostanti.

Delta di correlazione

Il delta di correlazione, noto anche come cega, misura la variazione del valore di un derivato quando cambia la correlazione tra due sottostanti.

Correlazione gamma o cross gamma

La correlazione gamma misura la variazione del delta di un'opzione al variare della correlazione tra due sottostanti.

Viene utilizzata nelle opzioni multi-asset per aiutare a gestire un portafoglio con copertura delta quando le correlazioni cambiano.

Vanna di correlazione o vanna incrociato

Il vanna di correlazione, noto anche come cvanna, misura come cambia il vega di un'opzione quando il prezzo dell'attività sottostante cambia nella direzione opposta.

In altre parole, misura come cambia il delta del secondo sottostante a causa di una variazione della volatilità del primo sottostante.

Viene utilizzato nelle opzioni multi-asset per aiutare a gestire un portafoglio coperto in termini di vega quando le correlazioni cambiano.

Volga di correlazione o cross volga

Il volga di correlazione misura il tasso di variazione del vega di un sottostante rispetto alla variazione della volatilità di un altro sottostante.

Applicazione pratica delle correlazioni greche o cross-correlazioni greche

Queste greche sono talvolta chiamate “greche incrociate”, perché misurano l'influenza di un'attività sottostante su un'altra. Ad esempio, se l'asset A ha una correlazione positiva con l'asset B, un aumento del prezzo dell'asset A porterà probabilmente a un aumento del prezzo dell'asset B. In questo caso, il gamma di correlazione dell'asset A sarà positivo.

Queste greche possono essere utilizzate per gestire portafogli multi-asset quando le correlazioni cambiano.

Ad esempio, se un portafoglio è coperto da delta e vega e la correlazione tra i due asset sottostanti cambia, le coperture potrebbero non essere più efficaci. In questo caso, il trader può utilizzare i cross-greeks per adeguare le coperture.

Cosa si intende per “flussi” nelle opzioni greche?

I flussi di greche sono una misura monitorata dai market maker di opzioni (e potenzialmente da altri tipi di trader).

Quando si parla di “flussi” di greche, si descrive l'impatto che queste greche hanno sulle dinamiche di mercato a causa dell'attività di trading e degli aggiustamenti di copertura.

La tabella seguente classifica le varie greche e le greche di ordine superiore in base alla loro sensibilità a :

  • il prezzo spot (S)
  • alla volatilità (σ)
  • al trascorrere del tempo (t)

opzioni greche

Di seguito viene riportata una descrizione dei flussi associati a ciascuna di queste greche (definiremo nuovamente ogni termine in modo che la spiegazione dei flussi abbia più senso):

Prezzo spot (S) Flussi correlati

Delta (Δ)

  • Definizione - La sensibilità del prezzo dell'opzione alle variazioni del prezzo dell'attività sottostante.
  • Flusso - Quando il delta cambia a causa dei movimenti del prezzo del sottostante, i market maker adeguano le loro coperture acquistando o vendendo il sottostante per mantenere una posizione neutrale (delta hedging).

Gamma (Γ)

  • Definizione - Misura il tasso di variazione del delta rispetto alle variazioni del prezzo del sottostante.
  • Flusso - La copertura Gamma comporta frequenti aggiustamenti rispetto alla copertura Delta. Grandi esposizioni Gamma possono portare a un aumento dei volumi di negoziazione dell'attività sottostante, poiché i market maker aggiustano le loro posizioni in modo più aggressivo. Questo fenomeno viene talvolta definito “Gamma squeeze”.

Speed

  • Definizione - Speed di variazione del Gamma rispetto alle variazioni del prezzo dell'attività sottostante.
  • Flusso - La velocità ha un impatto sulla velocità di variazione del Gamma, che influenza la frequenza e l'entità degli aggiustamenti di copertura da parte dei market maker.

Flussi legati alla volatilità (σ)

Vega (ν)

  • Definizione - Misura la sensibilità del prezzo dell'opzione alle variazioni della volatilità del sottostante.
  • Flusso - Variazioni significative della volatilità implicita determinano aggiustamenti del Vega. Ciò incoraggia i market maker a negoziare opzioni o altri strumenti sensibili alla volatilità per gestire il rischio.

Vega

  • Definizione - Misura la sensibilità di Delta alle variazioni di volatilità.
  • Flusso - Quando la volatilità cambia, Vanna influisce su Delta, portando ad aggiustamenti di copertura. Ciò può comportare acquisti o vendite supplementari dell'attività sottostante per mantenere una posizione neutrale rispetto al Delta.

Vomma

  • Definizione - La sensibilità di Vega alle variazioni di volatilità.
  • Flusso - Le variazioni della volatilità determinano aggiustamenti nel Vomma. Ha un impatto su Vega e richiede ulteriori attività di copertura con strumenti di volatilità.

Zomma

  • Definizione - Misura la sensibilità di Gamma alle variazioni di volatilità.
  • Flusso - Le variazioni di volatilità influiscono su Gamma attraverso Zomma. Comporta cambiamenti nella frequenza e nell'intensità della copertura delta.

Ultima

  • Definizione - Misura la sensibilità di Vomma alle variazioni di volatilità.
  • Flusso - Variazioni significative della volatilità hanno un impatto su Vomma attraverso Ultima, influenzando Vega e portando a strategie di copertura complesse che coinvolgono più greche.

Passaggio del tempo (t) Flussi correlati

Theta (θ)

  • Definizione - Misura la sensibilità del prezzo dell'opzione al trascorrere del tempo.
  • Flusso - Quando le opzioni si avvicinano alla scadenza, il theta provoca una diminuzione del prezzo dell'opzione. Questo deprezzamento temporale costringe i market maker ad adeguare le loro coperture su base continuativa. Ciò influisce sulle loro posizioni nel sottostante.

Fascino

  • Definizione - Sensibilità del delta al passare del tempo.
  • Flusso - Con il passare del tempo, il delta cambia a causa del fascino, con conseguenti aggiustamenti alla copertura del sottostante per mantenere una posizione neutrale rispetto al delta.

Veta

  • Definizione - La sensibilità di Vega al passare del tempo.
  • Flusso - Con il passare del tempo, le variazioni di Vega dovute a Veta richiedono aggiustamenti nelle coperture di volatilità, con un impatto sulla negoziazione di opzioni e altri strumenti legati alla volatilità.

Color

  • Definizione - Misura il tasso di variazione di Gamma nel tempo.
  • Flussi - L'impatto del tempo su Gamma attraverso il color richiede continui aggiustamenti alla strategia di copertura Delta, influenzando i volumi di trading dell'attività sottostante.

I flussi associati descrivono le attività di copertura richieste dai market maker per mantenere posizioni neutrali in risposta alle variazioni di questi parametri.

Queste attività di copertura, a loro volta, influenzano le dinamiche di trading degli asset sottostanti e dei derivati.

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